1
00:00:04,200 --> 00:00:06,800
纵观历史，

2
00:00:06,840 --> 00:00:11,400
人类一直在试图了解物质世界的基本活动。

3
00:00:11,440 --> 00:00:16,200
我们尽力发现规则和模式，

4
00:00:16,240 --> 00:00:21,840
确定我们周围物体的特性，
彼此之间的复杂关系。

5
00:00:23,160 --> 00:00:27,800
几千年来，全世界学会团体发现
一个在所有学科之上的学科，

6
00:00:27,840 --> 00:00:31,320
产生了

7
00:00:31,360 --> 00:00:34,760
关于物质世界潜在真象的可靠知识。

8
00:00:34,800 --> 00:00:37,960
这学科就是数学。

9
00:00:38,000 --> 00:00:41,520
我叫马库斯.都.桑托伊，是一个数学家。

10
00:00:41,560 --> 00:00:46,200
我把自己看作模式搜寻者，搜索隐藏在

11
00:00:46,240 --> 00:00:51,240
表面混乱和周围世界复杂性背后的结构。

12
00:00:52,720 --> 00:00:57,960
在我搜索模式和秩序过程中，
我借鉴之前伟大数学家的工作，

13
00:00:58,000 --> 00:01:02,240
那些属于世界文明的人，

14
00:01:02,280 --> 00:01:06,680
发明创造了宇宙书写的语言。

15
00:01:06,720 --> 00:01:12,400
我想带你一起穿越时空旅行，
沿着数学发展的轨迹，

16
00:01:12,440 --> 00:01:16,680
从数学的起源到今天的精密学科。

17
00:01:17,840 --> 00:01:20,880
使用计算机生成的图像，我们将探索

18
00:01:20,920 --> 00:01:28,400
开创性的发现给予最早的文明
认识数学世界的能力。

20
00:01:28,440 --> 00:01:31,360
这是数学的故事。

21
00:01:50,920 --> 00:01:54,840
我们的世界由模式和序列组成。

22
00:01:54,880 --> 00:01:57,160
他们就在我们身边。

23
00:01:57,200 --> 00:01:59,640
白昼变成黑夜。

24
00:01:59,680 --> 00:02:04,640
动物迁徙的路线年年不变。

25
00:02:04,680 --> 00:02:08,600
地貌不断改变。 

26
00:02:08,640 --> 00:02:12,440
数学开始的原因之一，
由于我们需要找到一个方法，

27
00:02:12,480 --> 00:02:15,440
搞清自然模式的含意，

28
00:02:18,480 --> 00:02:22,960
数学中最基本的概念 - 空间和数量  

29
00:02:23,000 --> 00:02:26,960
是我们大脑固有的属性。

30
00:02:27,000 --> 00:02:29,960
即使动物，也有一些距离和数感，

31
00:02:30,000 --> 00:02:35,880
当寡不敌众时，评估战斗还是逃走，

32
00:02:35,920 --> 00:02:40,600
计算猎物是否在攻击距离之内。

33
00:02:40,640 --> 00:02:45,880
理解数学决定生死存亡。

34
00:02:47,040 --> 00:02:49,920
但却是人学习了这些基本概念，

35
00:02:49,960 --> 00:02:52,520
并开始建立基本原理。

36
00:02:52,560 --> 00:02:55,640
某种程度上，人类开始认出模式，

37
00:02:55,680 --> 00:02:59,440
建立联系，计算和建立周围世界秩序。

38
00:02:59,480 --> 00:03:04,480
至此，一个全新的数学宇宙开始出现。

39
00:03:11,000 --> 00:03:12,720
这里是尼罗河。

40
00:03:12,760 --> 00:03:15,560
一千年来，它一直是埃及人的生命源泉。

41
00:03:17,000 --> 00:03:19,880
我来这里，

42
00:03:19,920 --> 00:03:23,320
因为它是数学发祥地之一。

43
00:03:25,240 --> 00:03:30,560
早在公元前6000年左右，
人们就放弃了游牧生活，开始定居于此。

44
00:03:30,600 --> 00:03:34,640
肥沃的土壤很适合农耕，

45
00:03:37,960 --> 00:03:43,880
每年埃及农业最关心的事件
莫过于尼罗河的定期泛滥。

46
00:03:43,920 --> 00:03:49,480
这被作为新的一年开始的标志。

47
00:03:49,520 --> 00:03:53,760
埃及人记录了事情发生的周期，

48
00:03:53,800 --> 00:03:56,240
为了建立这样的日历，

49
00:03:56,280 --> 00:03:59,720
你需要计算天数，例如，

50
00:03:59,760 --> 00:04:02,440
月相发生的间隔，

51
00:04:02,480 --> 00:04:08,640
尼罗河水定期泛滥之间相隔的确切天数。

52
00:04:10,240 --> 00:04:13,960
根据天象确定季节成了十分重要的工作，

53
00:04:14,000 --> 00:04:17,800
这有利于他们管理国家和教会的事务。

54
00:04:17,840 --> 00:04:20,960
在尼罗河两岸，古埃及人定居下来，

55
00:04:21,000 --> 00:04:25,360
相信河神--哈比神(Hapy)，
掌管着每年尼罗河洪水的泛滥。

56
00:04:25,400 --> 00:04:28,200
人们进献一部分农业收益，

57
00:04:28,240 --> 00:04:32,600
藉以回报神王的赐福。

58
00:04:33,840 --> 00:04:38,680
当定居点日益变大，
寻找管理的办法变的很有必要。

59
00:04:38,720 --> 00:04:42,960
需要计算土地的面积，农作物的产量预测，

60
00:04:43,000 --> 00:04:45,280
征收和管理税收。

61
00:04:45,320 --> 00:04:49,040
总之，人民需要计算和测量。

62
00:04:50,600 --> 00:04:53,560
埃及人以人的身体为基准，

63
00:04:53,600 --> 00:04:56,600
下面是测量单位的演变过程。

64
00:04:56,640 --> 00:04:59,000
掌尺（palm）是一个人手掌的宽度，

65
00:04:59,040 --> 00:05:03,640
腕尺(cubit)是肘到中指端的长。

66
00:05:03,680 --> 00:05:07,080
土地肘（Land cubits）是腕尺乘以100的积，

67
00:05:07,120 --> 00:05:10,440
法老的测量员用于丈量土地的基本单位。

68
00:05:13,680 --> 00:05:16,880
古埃及数学的发展

69
00:05:16,920 --> 00:05:20,120
与官方关系密切。

70
00:05:20,160 --> 00:05:23,080
我们一开始就能看到这个联系，

71
00:05:23,120 --> 00:05:25,400
从数系的发明，

72
00:05:25,440 --> 00:05:28,200
实际上贯穿整个埃及历史。

73
00:05:28,240 --> 00:05:30,680
对于古王国，我们仅存的证据是度量衡系统，

74
00:05:30,720 --> 00:05:34,720
用来测量面积，长度。

75
00:05:34,760 --> 00:05:41,280
这是官方必需做的事。

76
00:05:41,320 --> 00:05:46,520
丈量农民的土地面积，
征收相应的地税至关重要，

77
00:05:46,560 --> 00:05:51,440
或者，如果河水泛滥损坏了部分土地，
他可以要求退税。

78
00:05:51,480 --> 00:05:54,400
这意味着法老的测量员经常需要丈量

79
00:05:54,440 --> 00:05:57,960
不规则的土地面积。

80
00:05:58,000 --> 00:06:00,640
需要解决实际问题

81
00:06:00,680 --> 00:06:04,840
使他们成为最早的数学创新者。

82
00:06:09,560 --> 00:06:13,520
埃及人需要某种方式记录他们的计算结果。

83
00:06:15,760 --> 00:06:20,320
所有的象形文字，
散落在开罗(埃及首都)的旅游纪念品里，

84
00:06:20,360 --> 00:06:25,520
我在寻找印有第一个数字图案的旅游纪念品。

85
00:06:25,560 --> 00:06:29,280
非常难找。

86
00:06:30,480 --> 00:06:33,240
最后，我找到了。

87
00:06:36,360 --> 00:06:41,600
埃及人采用十进制系统，
可能来自于人类恰好有10个手指。

88
00:06:41,640 --> 00:06:44,160
1的符号就是一竖，

89
00:06:44,200 --> 00:06:50,040
10，1根后跟骨，100，1圈绳子，
1000，1朵莲花。

90
00:06:50,080 --> 00:06:52,320
这件T恤多少钱？

91
00:06:52,360 --> 00:06:54,040
呃，25。

92
00:06:54,080 --> 00:06:59,840
25！是啊！那就是2根后跟骨和5竖。

93
00:06:59,880 --> 00:07:03,200
难道你不准备给我“充充电”吗？这里，100万！

94
00:07:03,240 --> 00:07:05,240
100万？天哪！

95
00:07:05,280 --> 00:07:07,640
这是100万。

96
00:07:07,680 --> 00:07:09,680
100万，是的，这是相当大的数！

97
00:07:11,080 --> 00:07:16,520
象形文字虽然很美，
但埃及数字系统有致命的缺陷。

98
00:07:18,160 --> 00:07:21,640
他们没有位值的概念，

99
00:07:21,680 --> 00:07:24,120
这样一竖就只能代表1，

100
00:07:24,160 --> 00:07:25,840
不能表示100或1000。

101
00:07:25,880 --> 00:07:28,880
虽然只要写一个符号就能表示100万，

102
00:07:28,920 --> 00:07:33,160
而现在要写7个符号（1000000），
但如果你想写100万减1，

103
00:07:33,200 --> 00:07:36,600
那么可怜的古埃及抄写员要写9竖，

104
00:07:36,640 --> 00:07:39,760
9根后跟骨，9圈绳子，等等，

105
00:07:39,800 --> 00:07:42,320
总共54个符号。

106
00:07:44,760 --> 00:07:49,920
尽管这一数字系统存在缺点，
埃及人仍是卓越的问题解决者。

107
00:07:51,960 --> 00:07:55,920
我们知道这些，因为有少量的记载被保存下来。

108
00:07:55,960 --> 00:07:58,920
埃及抄写员在纸莎草（papyrus）压制的草片上

109
00:07:58,960 --> 00:08:02,320
记录他们的数学发现。

110
00:08:02,360 --> 00:08:06,120
随着时间的过去，
芦苇做成的草片很容易腐烂，

111
00:08:06,160 --> 00:08:09,400
古埃及的许多秘密也一起消亡了。

112
00:08:09,440 --> 00:08:13,520
但还有一个文献保存下来了，

113
00:08:13,560 --> 00:08:20,160
莱因德（Rhind）纸草书
可谓古埃及最重要的传世数学文献。

115
00:08:20,200 --> 00:08:24,360
从中我们可以了解

116
00:08:24,400 --> 00:08:28,320
埃及人处理什么类型数学问题的一个概貌。

117
00:08:28,360 --> 00:08:33,800
显示他们已经掌握了乘法和除法运算法则。

118
00:08:35,560 --> 00:08:39,800
莱因德纸草书里还演示了两个大数如何相乘。
（即叠加法）

119
00:08:39,840 --> 00:08:44,320
但要说明这个方法，
我们取两个小一点的数来演示。

120
00:08:44,360 --> 00:08:46,880
让我们算3乘以6。

121
00:08:46,920 --> 00:08:50,480
抄写员取的第一个数，3，并把它在一列。

122
00:08:52,800 --> 00:08:55,960
在第二列中，他放数1。

123
00:08:56,000 --> 00:09:00,720
然后，他将每列的数翻一番，3变成6 ...

124
00:09:04,320 --> 00:09:06,360
6变成12。

125
00:09:10,800 --> 00:09:14,480
然后在第二列中，1变成2，

126
00:09:14,520 --> 00:09:16,040
2变成4。

127
00:09:18,760 --> 00:09:21,160
现在，下面是真正聪明的地方。

128
00:09:21,200 --> 00:09:24,160
抄写员要算3乘以6。

129
00:09:24,200 --> 00:09:27,680
因此，他取第二列中2的乘方，

130
00:09:27,720 --> 00:09:31,400
2加4等于6。

131
00:09:31,440 --> 00:09:34,320
然后，他将回到第一列，

132
00:09:34,360 --> 00:09:37,240
取对应于2和4这些行。

133
00:09:37,280 --> 00:09:38,880
是，6和12。

134
00:09:38,920 --> 00:09:43,720
把这两个数加起来，就得到答案18。

135
00:09:43,760 --> 00:09:47,560
对我来说，这个方法最引人注目的是

136
00:09:47,600 --> 00:09:51,520
第二个数字写成了2进制。

137
00:09:51,560 --> 00:09:56,520
六是1个4，加1个2，没多余了。

138
00:09:56,560 --> 00:09:59,120
表示成二进制是1-1-0。

139
00:09:59,160 --> 00:10:03,400
埃及人早就熟悉2进制,

140
00:10:03,440 --> 00:10:07,360
比数学家和哲学家莱布尼茨(Leibniz)早3000年，

141
00:10:07,400 --> 00:10:15,680
今天，整个技术世界依赖于古埃及曾使用的相同原理。

143
00:10:16,400 --> 00:10:21,960
莱因德纸草书是公元前1650年左右
阿姆士(Ahmes)抄录。

144
00:10:22,000 --> 00:10:26,840
它关心的是寻找解决日常问题的办法。

145
00:10:26,880 --> 00:10:29,960
其中几个问题涉及面包和啤酒，

146
00:10:30,000 --> 00:10:33,720
这是不足为奇的，
因为埃及工人用食品和饮料支付。

147
00:10:33,760 --> 00:10:37,160
有一个关于如何将9个面包平均分配给10人，

148
00:10:37,200 --> 00:10:41,640
不准发生打架。

149
00:10:41,680 --> 00:10:43,760
我这里有9个面包。

150
00:10:43,800 --> 00:10:47,560
我把其中5个，对切开。

151
00:10:48,640 --> 00:10:51,320
当然，解法可以如下：
9个人每人把面包刮下十分之一，

152
00:10:51,360 --> 00:10:54,720
把一堆面包屑给第10人。

153
00:10:54,760 --> 00:10:58,560
但是，埃及人制定了更完美的解决方案 

154
00:10:58,600 --> 00:11:02,240
把剩下的4个每个切成3等份。

155
00:11:03,840 --> 00:11:07,320
把其中2个三分之一，再切成5等份，

156
00:11:07,360 --> 00:11:09,760
这样每片是十五分之一。

157
00:11:12,560 --> 00:11:17,000
最后每个人总共得到半个

158
00:11:17,040 --> 00:11:19,120
加三分之一个

159
00:11:19,160 --> 00:11:22,840
加十五分之一个面包。

160
00:11:22,880 --> 00:11:25,760
正是通过这些貌似实际问题

161
00:11:25,800 --> 00:11:29,320
我们开始看到一个更抽象的数学发展。

162
00:11:29,360 --> 00:11:32,040
突然，新的数字--分数出场了，

163
00:11:32,080 --> 00:11:37,440
不久以后，埃及人开始探索这些数的计算规则。

164
00:11:39,440 --> 00:11:44,840
分数对市场交易中的分配问题有实际意义。

165
00:11:44,880 --> 00:11:51,640
为了记录这些交易，
埃及人设计符号记录新的数字。

166
00:11:53,200 --> 00:11:56,320
其中这些分数的最早表述

167
00:11:56,360 --> 00:12:00,000
来自一个有着伟大神秘意义的象形文字。

168
00:12:00,040 --> 00:12:03,640
它被称为何露斯之眼。

169
00:12:03,680 --> 00:12:08,760
何露斯(Horus)是古王国的神，
描绘成半人半鹰。

170
00:12:10,720 --> 00:12:15,520
据传说，何露斯的父亲被他另一个儿子所谋杀，
赛特(Seth)。

171
00:12:15,560 --> 00:12:18,720
何露斯决定向赛特复仇。

172
00:12:18,760 --> 00:12:21,400
在一次激烈战斗中，

173
00:12:21,440 --> 00:12:26,360
塞特扯出何露斯的眼睛，
撕成碎片散布在埃及。

174
00:12:26,400 --> 00:12:29,560
但是，众神出手相助何露斯。

175
00:12:29,600 --> 00:12:33,280
他们找齐了分散的碎片，重新组装了眼睛。

176
00:12:36,320 --> 00:12:40,120
眼睛的每部分代表了一个不同的分数。

177
00:12:40,160 --> 00:12:43,040
每个分数都是前一个的一半。

178
00:12:43,080 --> 00:12:46,640
尽管最初的眼睛代表一个整体，

179
00:12:46,680 --> 00:12:50,440
重组的眼睛却短了1/64。
（1-1/64=1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +1/32 +1/64）

180
00:12:50,480 --> 00:12:54,480
虽然埃及人停留在1/64，

181
00:12:54,520 --> 00:12:56,560
但图中隐含了

182
00:12:56,600 --> 00:12:59,280
增加更多分数的可能性，

183
00:12:59,320 --> 00:13:03,760
每次2等份，这些数的和越来越接近1，
却永远达不到。

184
00:13:03,800 --> 00:13:06,960
（即1= 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 +1/32 + …）

185
00:13:07,000 --> 00:13:10,880
第一次隐含了几何级数的内容。

186
00:13:10,920 --> 00:13:14,400
 它以点数的形式出现在莱因德纸草书。

187
00:13:14,440 --> 00:13:17,400
但是，无穷级数的概念仍然隐藏，

188
00:13:17,440 --> 00:13:21,600
直到几世纪以后，亚洲数学家发现它。

189
00:13:24,720 --> 00:13:28,840
制订了一个包括新分数的数字系统，

190
00:13:28,880 --> 00:13:31,720
埃及人开始利用他们的知识

191
00:13:31,760 --> 00:13:35,360
理解他们每天遇到的形状。

192
00:13:35,400 --> 00:13:39,400
这些形状很少是正方形或长方形，

193
00:13:39,440 --> 00:13:44,160
在莱因德纸草书里我们发现一个
更加有机的形态---圆面积公式。

194
00:13:44,200 --> 00:13:51,440
计算圆面积的惊人之处在于它的精确性。

196
00:13:51,480 --> 00:13:55,360
他们如何发现计算的方法目前只是推测，

197
00:13:55,400 --> 00:14:01,040
因为草书中没有叙述他们的方法。

199
00:14:01,080 --> 00:14:05,120
特别引人注目的原因是

200
00:14:05,160 --> 00:14:07,080
计算圆的图形依赖于通过

201
00:14:07,120 --> 00:14:11,800
古埃及人已经理解的图形来近似。

202
00:14:11,840 --> 00:14:14,920
莱因德纸草书指出，

203
00:14:14,960 --> 00:14:17,480
圆的面积是直径的九分之八的平方。

204
00:14:17,520 --> 00:14:20,960
(或直径是9的圆面积等于边长为8的正方形面积。)

205
00:14:21,000 --> 00:14:24,760
但这种关系如何建立的？

206
00:14:24,800 --> 00:14:30,160
我从古老的游戏“曼卡拉”(Mancala)寻找解答。

207
00:14:30,200 --> 00:14:34,320
曼卡拉棋盘被发现雕刻在神殿的屋顶。

208
00:14:34,360 --> 00:14:37,880
开始时，每个玩家拥有同样数量的石子，

209
00:14:37,920 --> 00:14:40,920
游戏的任务是沿着棋盘移动石子，

210
00:14:40,960 --> 00:14:44,040
途中，占领对手的计数器。

211
00:14:45,040 --> 00:14:48,840
当玩家围坐着，等待下一步时，

212
00:14:48,880 --> 00:14:52,360
或许其中一个意识到，
有时用一个相当漂亮的方法

213
00:14:52,400 --> 00:14:54,560
可以把球填满曼卡拉棋盘的圆孔。

214
00:14:54,600 --> 00:14:59,680
他可能持续实验，试图组成一个更大的圆。

215
00:14:59,720 --> 00:15:04,240
也许他注意到，64个石子，8的平方，

216
00:15:04,280 --> 00:15:08,040
可以组成一个直径为9个石子的圆。

217
00:15:08,080 --> 00:15:13,560
通过重新排列石子，正方形近似于圆。

218
00:15:13,600 --> 00:15:16,720
因为圆的面积是pi*半径的平方，

219
00:15:16,760 --> 00:15:21,600
埃及人的计算给出了pi的第一个近似值。

220
00:15:21,640 --> 00:15:26,600
圆的面积为64，除以半径的平方，

221
00:15:26,640 --> 00:15:30,640
在这里是4.5的平方，得到了pi的一个近似值。

222
00:15:30,680 --> 00:15:35,400
所以，64除以4.5的平方等于3.16，

223
00:15:35,440 --> 00:15:38,720
跟真值（3.1415926535...）误差只有0.02。

224
00:15:38,760 --> 00:15:41,880
真正精彩的是，

225
00:15:41,920 --> 00:15:45,080
埃及人使用这些小图形组成更大的图形。

226
00:15:49,720 --> 00:15:52,680
但还有一个埃及的象征--金字塔，

227
00:15:52,720 --> 00:15:57,920
我们至今尚未用数学解开。

229
00:15:57,960 --> 00:16:02,800
我见过很多照片，
但不相信会给我会留下深刻印象。

230
00:16:02,840 --> 00:16:06,320
但当面对面时，你就会明白为什么他们被誉为

231
00:16:06,360 --> 00:16:08,800
古代世界七大奇观之一。

232
00:16:08,840 --> 00:16:11,040
他们实在是激动人心。

233
00:16:11,080 --> 00:16:14,360
在当时肯定更加令人刮目相看，

234
00:16:14,400 --> 00:16:19,400
当边象玻璃般光滑，反射着沙漠阳光。

235
00:16:19,440 --> 00:16:24,960
对我来说，
它看起来像一面隐藏在沙漠下的镜子塔。

236
00:16:25,000 --> 00:16:29,240
整个形状组成了完美的对称八面体。

237
00:16:29,280 --> 00:16:34,600
有时，在沙漠炎热的微光下，
仿佛可以看到这个形状。

238
00:16:36,160 --> 00:16:43,440
这种内对称暗示这些形状令数学家印象深刻。

239
00:16:43,480 --> 00:16:47,720
金字塔只是比这些完美形状短一点，

240
00:16:47,760 --> 00:16:50,920
但有些人提出了另一项重要的数学概念

241
00:16:50,960 --> 00:16:56,880
可能隐藏在伟大金字塔中的比例---黄金比例。

242
00:16:56,920 --> 00:17:01,640
两段距离成黄金比例，指

243
00:17:01,680 --> 00:17:06,920
其中短段与长段之比等于长段与两段和之比。

244
00:17:06,960 --> 00:17:11,600
黄金比例被认为是完美的比例，

245
00:17:11,640 --> 00:17:15,600
在自然界中到处可见，

246
00:17:15,640 --> 00:17:18,480
几千年来，艺术家、建筑师和设计师
在创作中一直使用黄金比例。

247
00:17:22,360 --> 00:17:26,760
是否金字塔的建筑师意识到这个重要的数学思想，

248
00:17:26,800 --> 00:17:32,440
或者出于本能，因为它满足审美属性，
我们不得而知。

249
00:17:32,480 --> 00:17:36,800
对我来说，最令人印象深刻的是

250
00:17:36,840 --> 00:17:40,360
数学的光芒使金字塔建造起来，

251
00:17:40,400 --> 00:17:44,400
包括隐含了一个古代伟大定理
---毕达哥拉斯定理（勾股定理）。

252
00:17:45,960 --> 00:17:48,920
为了使建筑物和金字塔都是完美的直角转角，

253
00:17:48,960 --> 00:17:54,080
埃及人在绳上打结。

254
00:17:54,120 --> 00:17:57,960
有些观点认为，埃及人已经意识到，

255
00:17:58,000 --> 00:18:05,400
如果三角形的三条边分别取3，4，5个结，
它一定是直角三角形。

256
00:18:05,440 --> 00:18:09,880
这是因为3的平方，加上4的平方，等于5的平方。

257
00:18:09,920 --> 00:18:12,600
因此，我们已经有了一个完美的毕达哥拉斯三角形。

258
00:18:14,960 --> 00:18:20,720
事实上，任何一个三角形
满足这种关系就一定是直角三角形。

259
00:18:20,760 --> 00:18:23,360
但我敢肯定地说，

260
00:18:23,400 --> 00:18:28,240
埃及人并没有从3，4，5上升到毕达哥拉斯定理。

261
00:18:28,280 --> 00:18:32,000
我们不期望找到一般举证，

262
00:18:32,040 --> 00:18:35,480
因为这不是埃及的数学风格。

263
00:18:35,520 --> 00:18:39,080
每个问题的解决都使用具体的数，

264
00:18:39,120 --> 00:18:43,520
l如果这个方法行之有效，

265
00:18:43,560 --> 00:18:45,480
它就会作为一个结果，
具体的给定数字加以使用，

266
00:18:45,520 --> 00:18:49,200
埃及数学教科书中没有一般证明。

267
00:18:50,760 --> 00:18:53,840
这将是大约2000年前，古希腊人和毕达哥拉斯

268
00:18:53,880 --> 00:18:59,040
将证明任意直角三角形共有的某些属性。

269
00:18:59,080 --> 00:19:03,400
这不是唯一的数学思想，埃及人能预料的。

270
00:19:03,440 --> 00:19:09,920
4000年前的莫斯科纸草书中（Moscow papyrus），

271
00:19:09,960 --> 00:19:15,880
我们发现了一个求截棱锥体的体积公式，
说明了第一次隐含了微积分的工作。

272
00:19:15,920 --> 00:19:22,680
金字塔是古埃及文明的代表，

273
00:19:22,720 --> 00:19:26,320
你可能期望这样的问题作为专栏在数学教科书中出现。

274
00:19:26,360 --> 00:19:31,040
根据现代的数学标准，

275
00:19:31,080 --> 00:19:36,240
能计算一个截棱锥体的体积

276
00:19:36,280 --> 00:19:38,840
说明古埃及的数学已达到相当高的水平了。

277
00:19:38,880 --> 00:19:42,880
建筑师和工程师肯定想要一个公式

278
00:19:42,920 --> 00:19:46,520
能够计算建造金字塔所需原材料的数量。

279
00:19:46,560 --> 00:19:53,520
他们能够想出这样漂亮的方法，
仍是古埃及数学的迷。

281
00:19:59,560 --> 00:20:03,520
为了了解他们如何得到公式，

282
00:20:03,560 --> 00:20:08,240
开始建造金字塔，使最高点正好位于一个角上。

283
00:20:08,280 --> 00:20:12,840
这样的三个拼在一起组成一个长方体，

284
00:20:12,880 --> 00:20:18,000
所以金字塔的体积是长方体体积的三分之一。

285
00:20:18,040 --> 00:20:24,040
即长，乘以宽，乘以高，再除以3。

286
00:20:24,080 --> 00:20:29,080
而这表明了第一次隐含微积分的工作，

287
00:20:29,120 --> 00:20:35,080
比莱布尼兹和牛顿产生这个理论早了几千年。

288
00:20:35,120 --> 00:20:39,400
假设你把金字塔切成片，

289
00:20:39,440 --> 00:20:44,720
你就可以滑动每一层，
使吉萨金字塔看上去更对称。

290
00:20:44,760 --> 00:20:49,480
然而，尽管层的重排，
金字塔的体积并没有改变。

291
00:20:49,520 --> 00:20:51,880
因此，相同的公式有效。

292
00:20:55,160 --> 00:20:58,640
埃及人是惊人的创新者，

293
00:20:58,680 --> 00:21:01,840
他们创造新数学的能力是难以置信的。

294
00:21:01,880 --> 00:21:07,080
对我来说，他们揭示了几何和数字的威力，

295
00:21:07,120 --> 00:21:11,520
并实现了令人兴奋的数学发现的第一步。

296
00:21:11,560 --> 00:21:15,720
数学史上还有另一个可以跟埃及媲美的文明古国。

297
00:21:15,760 --> 00:21:19,800
我们知道他们的成就更多一些。

298
00:21:24,080 --> 00:21:27,640
这是大马士革(叙利亚首都)，
虽然过去了5000多年，

299
00:21:27,680 --> 00:21:31,040
今天仍然充满活力，一幅繁华景象。

300
00:21:31,080 --> 00:21:36,600
它曾是贸易路线上的枢纽，
联系着埃及和古美索不达米亚。

301
00:21:36,640 --> 00:21:43,480
从公元前1800年，巴比伦人控制了今天的伊拉克，
伊朗和叙利亚大部分地区。

302
00:21:43,520 --> 00:21:50,880
为了扩张和运转他们的帝国，
他们成了熟练处理数字的好手。

303
00:21:50,920 --> 00:21:55,960
例如，我们的法典，
告诉我们社会组成的方式就是秩序。

305
00:21:56,000 --> 00:21:59,880
我们知道的人最多的是文士---有学问能算账的人，

306
00:21:59,920 --> 00:22:05,040
专门给富有家庭、寺庙、宫殿做记录。

307
00:22:05,080 --> 00:22:10,080
公元前2500年，文士学校在各地就存在了。

308
00:22:10,120 --> 00:22:17,000
当还是儿童时，就被送到那里当文士，
学习读，写和算术。

309
00:22:17,040 --> 00:22:19,880
上课的内容抄写在已有的泥板书上，

310
00:22:19,920 --> 00:22:23,960
这帮助了巴比伦人管理和发展他们的帝国。

311
00:22:24,000 --> 00:22:30,760
然而，我们今天挖掘出来的泥板
很多不是官方文件，而是儿童的练习题。

312
00:22:30,800 --> 00:22:37,400
这些文物给了我们一个难得的深入
了解巴比伦人怎么学习数学。

313
00:22:37,440 --> 00:22:42,200
这是一个公元前18世纪的几何教科书。

314
00:22:42,240 --> 00:22:44,680
我想你能看到有很多图片在上面。

315
00:22:44,720 --> 00:22:48,920
每个图片下面是关于图片问题的文字说明。

316
00:22:48,960 --> 00:22:55,560
因此，例如这一个就说，画1个正方形，周长60，

317
00:22:55,600 --> 00:23:00,680
在正方形里面，
画4个圆 - 它们的面积是多少？

318
00:23:00,720 --> 00:23:07,000
这个小泥板书写的时间至少比这里的泥板晚1000年，

319
00:23:07,040 --> 00:23:09,880
但有一个非常有趣的关系。

320
00:23:09,920 --> 00:23:12,280
在一个正方形里，也有4个圆，

321
00:23:12,320 --> 00:23:17,040
画的很粗糙，但这不是一本教科书，
它是学校的练习题。

322
00:23:17,080 --> 00:23:21,160
成人文士通过泥板给学生举例，

323
00:23:21,200 --> 00:23:25,080
帮助他们完成家庭作业。

324
00:23:26,240 --> 00:23:29,320
像埃及人一样，

325
00:23:29,360 --> 00:23:32,680
巴比伦人感兴趣的是解决测量和称重的实际问题。

326
00:23:32,720 --> 00:23:37,160
巴比伦解法写的有点象数学食谱。 

327
00:23:37,200 --> 00:23:42,760
文士只要简单的遵循和记录步骤就能得到结果。

328
00:23:42,800 --> 00:23:47,520
以下是他们解决问题的一个例子。

329
00:23:47,560 --> 00:23:51,520
我这里有一捆枝肉桂，
但我不直接称出它的重量。

330
00:23:51,560 --> 00:23:56,200
相反，我取4倍重量，并把它们加到天平上。

331
00:23:57,840 --> 00:24:04,400
现在，我加20gin。gin是古巴比伦的重量单位。

332
00:24:04,440 --> 00:24:07,720
每一样我取一半，然后再把它们加进来...

333
00:24:07,760 --> 00:24:10,040
两捆和10gin。

334
00:24:10,080 --> 00:24:16,080
一边总重等于1mana，其中1mana等于60gin。

335
00:24:16,120 --> 00:24:20,040
在这里，我们有了史上第一个数学方程，

336
00:24:20,080 --> 00:24:22,920
一边总重等于1mana。

337
00:24:22,960 --> 00:24:25,960
那么每捆枝肉桂重多少？

338
00:24:26,000 --> 00:24:29,240
不需用任何代数语言，

339
00:24:29,280 --> 00:24:34,960
他们可以巧妙地处理数量得每捆枝肉桂重5gin。

340
00:24:35,000 --> 00:24:40,320
在我看来，这类问题给了数学一个坏名声。

341
00:24:40,360 --> 00:24:44,800
你可以指责古巴比伦人，
学校里教这些含混不清的问题。

342
00:24:44,840 --> 00:24:49,680
但是，古巴比伦的文士善于解答这种问题。

343
00:24:49,720 --> 00:24:57,200
有趣的是，他们并不像埃及人使用10进制，
他们用60进制。

344
00:24:59,920 --> 00:25:05,080
巴比伦人发明自己的数系，象埃及人，
通过使用他们的手指。

345
00:25:05,120 --> 00:25:08,280
不用数手上的10个手指，

346
00:25:08,320 --> 00:25:11,240
巴比伦人发现了一个更有趣的方式来数身体部位。

347
00:25:11,280 --> 00:25:13,760
他们用一只手的12个关节，

348
00:25:13,800 --> 00:25:16,160
加另一只手的5个手指

349
00:25:16,200 --> 00:25:20,280
就能得到12乘5，即60个不同的数。

350
00:25:20,320 --> 00:25:24,760
举例来说，这个数字是2个12，24，

351
00:25:24,800 --> 00:25:28,880
然后，1，2，3，4，5，组成29(29=24+5)。

352
00:25:32,000 --> 00:25:35,680
60这个数还有另外一个很好的性质。

353
00:25:35,720 --> 00:25:39,120
它有多种因式分解方式。

354
00:25:39,160 --> 00:25:41,120
这里有60颗大豆。

355
00:25:41,160 --> 00:25:44,560
我可以排2行，每行30颗。

356
00:25:48,560 --> 00:25:51,280
3行，每行20颗。

357
00:25:51,320 --> 00:25:53,680
4行，每行15颗。

358
00:25:53,720 --> 00:25:55,920
5行，每行12颗。

359
00:25:55,960 --> 00:25:59,080
或6行，每行10颗。

360
00:25:59,120 --> 00:26:05,320
60的整除性使它成为算术完美的基础。

361
00:26:05,360 --> 00:26:10,760
60进制非常成功，今天我们仍然使用它。

362
00:26:10,800 --> 00:26:14,840
每次当我们想知道几点时，就会用60来计算，

363
00:26:14,880 --> 00:26:18,800
一分钟60秒，1小时60分钟。

364
00:26:18,840 --> 00:26:24,560
但，巴比伦人的数字系统最重要特点是，
它采用了位值制。

365
00:26:24,600 --> 00:26:29,960
正如我们用十进制，能知道有几百几千几十，

366
00:26:30,000 --> 00:26:34,080
巴比伦的数都是60进制。

367
00:26:41,160 --> 00:26:44,200
不用发明新符号就能表示越来越大的数，

368
00:26:44,240 --> 00:26:50,200
他们写1-1-1，这个数字就代表3661。

369
00:26:53,800 --> 00:26:59,440
这个发现的驱动力是巴比伦人渴望绘制夜空的图表。

370
00:27:07,200 --> 00:27:10,600
巴比伦人的日历是根据月亮的周期。

371
00:27:10,640 --> 00:27:14,960
他们需要一个方式记录天文数字。

372
00:27:15,000 --> 00:27:19,320
逐月，逐年，这些周期被记录下来。

373
00:27:19,360 --> 00:27:25,480
大约公元前800年，就有月食的完整记录。

374
00:27:25,520 --> 00:27:31,160
巴比伦的测量系统在当时是相当复杂的。

375
00:27:31,200 --> 00:27:33,520
他们有一个角测量系统，

376
00:27:33,560 --> 00:27:37,240
一个圆是360度，1度又分为60分钟，

377
00:27:37,280 --> 00:27:41,600
一分钟进一步分为60秒。

378
00:27:41,640 --> 00:27:48,320
这样，他们就有了测量的正则系统，
与他们的数系完美和谐，

379
00:27:48,360 --> 00:27:51,960
因此它不仅适合观察，而且容易计算。

380
00:27:52,000 --> 00:27:56,120
但为了计算和处理这些大数，

381
00:27:56,160 --> 00:28:00,480
巴比伦人需要发明了一种新的符号。

382
00:28:00,520 --> 00:28:03,760
在这样做的过程中，

383
00:28:03,800 --> 00:28:06,640
他们为数学史上的一个重大突破 --零打好了基础。

384
00:28:06,680 --> 00:28:11,000
在初期，巴比伦人为了标记数中间的一个空位，

385
00:28:11,040 --> 00:28:14,400
只会留下一个空白。

386
00:28:14,440 --> 00:28:19,720
因此，他们需要一种方式表示数中间没有。

387
00:28:19,760 --> 00:28:25,120
他们使用了一个符号，
作为某种符号标记，一个标点符号，

388
00:28:25,160 --> 00:28:29,040
它意味着中间的数为零。

389
00:28:29,080 --> 00:28:34,960
这是第一次，零以某种形式出现在数学宇宙中。

390
00:28:35,000 --> 00:28:41,760
但是，需要过1000年，
这个小位置才变成了一个数。 

391
00:28:50,400 --> 00:28:54,120
建立了这样一个复杂的数系， 

392
00:28:54,160 --> 00:28:59,480
他们驾驭它驯服美索不达米亚干旱和贫瘠的土地。

393
00:29:01,880 --> 00:29:06,160
巴比伦工程师及测量员发现了巧妙方法

394
00:29:06,200 --> 00:29:10,160
取水输送到农田。

395
00:29:10,200 --> 00:29:15,520
再次，他们用数学方法解决了实际问题。 

396
00:29:15,560 --> 00:29:18,960
叙利亚奥隆特斯山谷仍然是一个农业中心，

397
00:29:19,000 --> 00:29:26,080
今天，古老的灌溉方法仍像几千年前一样使用。

398
00:29:26,120 --> 00:29:28,920
巴比伦的许多数学问题涉及测量土地， 

399
00:29:28,960 --> 00:29:34,120
在这里，我们第一次看到使用二次方程，

400
00:29:34,160 --> 00:29:39,680
巴比伦数学的最伟大遗产之一。

401
00:29:39,720 --> 00:29:46,680
二次方程涉及确定未知量的平方。

403
00:29:46,720 --> 00:29:49,640
我们把这叫做扯平测长法，
因为它构成一个正方形的面积，

404
00:29:49,680 --> 00:29:52,800
在计算土地面积环境下，

405
00:29:52,840 --> 00:29:55,720
二次方程式自然就产生了。

406
00:30:01,120 --> 00:30:03,040
下面是一个典型的问题。

407
00:30:03,080 --> 00:30:05,920
如果一块地的面积是55个单位，
 
408
00:30:05,960 --> 00:30:10,400
若其中一边比另一边多6个单位，

409
00:30:10,440 --> 00:30:12,320
问：短的那条边长多少？

410
00:30:14,000 --> 00:30:18,400
巴比伦的解决办法是把地重新分割成一个正方形。

411
00:30:18,440 --> 00:30:21,680
去掉最后的3个单位

412
00:30:21,720 --> 00:30:24,520
把它移到边上。 

413
00:30:24,560 --> 00:30:29,680
现在，缺了一片3X3的面积，
所以把这块加上去。 

414
00:30:29,720 --> 00:30:34,400
这块地的面积增加了9个单位。

415
00:30:34,440 --> 00:30:37,800
这组成的新的面积是64个单位。

416
00:30:37,840 --> 00:30:41,640
所以，正方形的边长是8个单位。

417
00:30:41,680 --> 00:30:45,080
解决问题能手知道，一边增加了3个单位。

418
00:30:45,120 --> 00:30:49,280
因此，原来的长度必须是5个单位。

419
00:30:50,320 --> 00:30:55,360
它看起来可能不像，
但这是历史上第一个二次方程式。

420
00:30:57,200 --> 00:31:02,160
在现代数学中，
我用代数符号语言来解决这个问题。

421
00:31:02,200 --> 00:31:07,160
巴比伦人的惊人成就是，
他们利用这些几何游戏找到了答案,

422
00:31:07,200 --> 00:31:09,960
没有求助于任何符号或公式。

423
00:31:10,000 --> 00:31:13,680
巴比伦人在数学中自得其乐。

424
00:31:13,720 --> 00:31:17,720
他们爱上了数学。

425
00:31:28,880 --> 00:31:33,840
巴比伦人对数字的迷恋很快就在闲暇时间体现。

426
00:31:33,880 --> 00:31:35,720
他们是狂热的游戏玩家。

427
00:31:35,760 --> 00:31:38,520
巴比伦人和他们的后代玩一种十五子游戏

428
00:31:38,560 --> 00:31:42,920
(双方各持十五子, 掷骰行棋)超过5000年。

429
00:31:42,960 --> 00:31:45,600
巴比伦人喜欢玩棋类游戏，

430
00:31:45,640 --> 00:31:51,960
从皇家陵墓中十分豪华的棋盘游戏
到学校发现的棋盘游戏，

431
00:31:52,000 --> 00:31:56,040
到宫殿入口处刻的棋类游戏，

432
00:31:56,080 --> 00:32:00,280
以便卫兵无聊的时候就有的玩了，

433
00:32:00,320 --> 00:32:03,520
他们用骰子轮流移动计数器。

434
00:32:04,480 --> 00:32:09,560
玩家利用闲暇时间用数字尝试，
试图以智取胜对手，

435
00:32:09,600 --> 00:32:12,440
他们心算速度非常快，

436
00:32:12,480 --> 00:32:17,040
因此，他们在闲暇时间进行计算，

437
00:32:17,080 --> 00:32:20,760
甚至不认为是一件辛苦的数学工作。

438
00:32:23,120 --> 00:32:24,360
现在轮到我了。

439
00:32:24,400 --> 00:32:29,760
我已经好久没玩十五子游戏，
但我估计我的数学给我一搏的机会。

440
00:32:29,800 --> 00:32:33,320
轮到你了。六...我需要移动一些东西。

441
00:32:33,360 --> 00:32:36,320
但这并没我想的那么容易，

442
00:32:36,360 --> 00:32:38,440
啊！到底是什么呢？

443
00:32:38,480 --> 00:32:42,200
是啊。这是1，这是2。

444
00:32:42,240 --> 00:32:43,960
现在，你有麻烦了。

445
00:32:44,000 --> 00:32:47,560
所以我不能移动任何东西。你不能移动这些。

446
00:32:47,600 --> 00:32:48,960
哦，天哪。

447
00:32:50,320 --> 00:32:52,080
你看你。

448
00:32:53,120 --> 00:32:54,720
3，4。

449
00:32:54,760 --> 00:33:00,480
就像古巴比伦人，
我的对手都是数学战术大师。

450
00:33:00,520 --> 00:33:01,880
是啊。

451
00:33:02,920 --> 00:33:05,600
跟我握手吧! 不错的游戏。

452
00:33:06,920 --> 00:33:10,400
巴比伦人最早意识到

453
00:33:10,440 --> 00:33:13,600
使用对称的数学形状做骰子，

454
00:33:13,640 --> 00:33:17,200
但更激烈的辩论

455
00:33:17,240 --> 00:33:20,680
他们可能最早发现另一重要图形的秘密。

456
00:33:20,720 --> 00:33:23,800
直角三角形。

457
00:33:26,800 --> 00:33:32,120
我们已经看到埃及人是
如何使用3-4-5构成直角三角形。

458
00:33:32,160 --> 00:33:37,360
但巴比伦人知道这个和其他类似形状更精益求精。

459
00:33:37,400 --> 00:33:41,880
这是现存的最有名和存在争议的泥板文书。

460
00:33:41,920 --> 00:33:44,240
它叫普林顿322。

461
00:33:45,280 --> 00:33:48,840
许多数学家相信它显示了巴比伦人

462
00:33:48,880 --> 00:33:53,120
可能已经知道直角三角形的性质，

463
00:33:53,160 --> 00:33:57,160
斜边的平方等于两直角边的平方和，

464
00:33:57,200 --> 00:34:00,040
在希腊人宣布之前几世纪就知道了。

465
00:34:01,680 --> 00:34:06,080
这是一个最有名的巴比伦泥板的拷贝，

466
00:34:06,120 --> 00:34:07,800
普林顿322，

467
00:34:07,840 --> 00:34:12,440
这些数字反映了三角形的长，宽，

468
00:34:12,480 --> 00:34:17,280
这是斜边，另外一边在这里，

469
00:34:17,320 --> 00:34:23,240
这列数的平方再加上这列数的平方

470
00:34:23,280 --> 00:34:26,120
等于斜边的平方。

471
00:34:26,160 --> 00:34:30,880
他们排列成递减的角度，

472
00:34:30,920 --> 00:34:33,760
一个非常统一的基础，

473
00:34:33,800 --> 00:34:38,360
表明了有人理解数字如何组合在一起。

474
00:34:44,480 --> 00:34:50,560
这里共有15个完美的毕达哥拉斯三角形，
所有的边都是整数(毕达哥拉斯数)。

475
00:34:50,600 --> 00:34:55,920
人们很容易认为，
巴比伦人是毕达哥拉斯定理的第一人，

476
00:34:55,960 --> 00:35:00,960
几代历史学家都想下的结论。

477
00:35:01,000 --> 00:35:03,720
但也可能是一个三个数的集合，

478
00:35:03,760 --> 00:35:07,520
凑巧满足毕达哥拉斯定理。

479
00:35:07,560 --> 00:35:12,560
这不是毕达哥拉斯三元数组的一个系统解释，

480
00:35:12,600 --> 00:35:17,400
它仅仅是数学教师做了一些复杂计算，

481
00:35:17,440 --> 00:35:20,920
为了生成一些非常简单的数，

482
00:35:20,960 --> 00:35:25,880
为了给学生留一个关于直角三角形的问题，

483
00:35:25,920 --> 00:35:30,760
在这个意义上，
毕达哥拉斯三元数组他只是顺便提一句。 

484
00:35:33,280 --> 00:35:38,800
最有价值的线索，
他们知道的东西可能位于别处。

485
00:35:38,840 --> 00:35:43,120
这是大约4000年前，一块学校练习的小泥板文书
（编号为YBC7289的泥板）

486
00:35:43,160 --> 00:35:48,560
揭示巴比伦人确实知道直角三角形的性质。

487
00:35:48,600 --> 00:35:54,120
使用毕达哥拉斯定理，
找到了一个令人震惊的新数。

488
00:35:57,720 --> 00:36:05,520
沿对角线得出一个非常近似2的平方根，

489
00:36:05,560 --> 00:36:10,640
表明，它是已知的，并在学校中已经使用。

490
00:36:10,680 --> 00:36:12,640
为什么这个数很重要？

491
00:36:12,680 --> 00:36:18,200
因为2的平方根就是我们现在所谓的无理数，

492
00:36:18,240 --> 00:36:23,720
也就是说，如果我们把它写成小数，

493
00:36:23,760 --> 00:36:28,120
是无限不循环小数。

494
00:36:29,040 --> 00:36:33,400
这一计算影响深远。

495
00:36:33,440 --> 00:36:37,680
首先，它意味着巴比伦人知道毕达哥拉斯定理

496
00:36:37,720 --> 00:36:39,560
在时间上比毕达哥拉斯早1000年。

497
00:36:39,600 --> 00:36:45,320
其次，把结果精确到4位小数（60进制 1；
24，51，10=1.41421296）显示了惊人的计算能力，

498
00:36:45,360 --> 00:36:50,360
及对数学细节的热情。

499
00:36:52,000 --> 00:36:56,200
巴比伦人的数学熟练程度是惊人的，

500
00:36:56,240 --> 00:37:02,840
近2000年来，
他们的智力进展在古代世界领先。

501
00:37:02,880 --> 00:37:08,040
但是，当他们的帝国开始衰落，
他们的智力活力也失去了光辉。

502
00:37:16,200 --> 00:37:23,040
公元前330年，希腊人扩张他们的帝国
到美索不达米亚。

503
00:37:25,000 --> 00:37:30,760
这是叙利亚共和国(Syria)中部的巴尔米拉，
曾是希腊人建立的伟大城市。

504
00:37:33,600 --> 00:37:40,760
数学知识需要建立与
完善几何结构令人印象深刻。

505
00:37:41,920 --> 00:37:48,080
就像以前的巴比伦人，
希腊人对数学充满热情。

506
00:37:50,320 --> 00:37:52,840
希腊人是聪明的殖民者。

507
00:37:52,880 --> 00:37:56,040
他们从入侵文明中吸取精华，

508
00:37:56,080 --> 00:37:58,480
推进自己的权力和影响力，

509
00:37:58,520 --> 00:38:01,640
很快他们作出自己的贡献。

510
00:38:01,680 --> 00:38:06,840
我认为，他们最大的创新是在思想上的转变。

511
00:38:06,880 --> 00:38:11,320
他们所做的将影响人类几个世纪。

512
00:38:11,360 --> 00:38:14,280
给我们显示了证明的威力。

513
00:38:14,320 --> 00:38:19,400
不管怎样，他们决定，
他们必须对自己的数学建立一个演绎系统，

514
00:38:19,440 --> 00:38:25,480
典型的演绎系统开始于某些公理，
你假设是正确的。

515
00:38:25,520 --> 00:38:28,840
就好像你承认某个定理，它是不证自明的。

516
00:38:28,880 --> 00:38:34,360
然后，使用逻辑的方法和非常谨慎的步骤，

517
00:38:34,400 --> 00:38:37,240
你从这些公理出发可以证明定理

518
00:38:37,280 --> 00:38:42,160
利用这些定理再证明更多的推论，
就像滚雪球。

519
00:38:43,320 --> 00:38:46,760
证明给数学提供力量。

520
00:38:46,800 --> 00:38:51,120
证明的威力，

521
00:38:51,160 --> 00:38:55,240
意味着希腊人2000年前的发现到今天还是对了，

522
00:38:55,280 --> 00:39:00,880
我需要迎着西行进入古希腊帝国的中心了解详情。

523
00:39:08,520 --> 00:39:13,760
对我来说，希腊数学一直是英雄和浪漫的。

524
00:39:15,080 --> 00:39:20,000
在我去萨摩斯岛(爱琴海东部的希腊属岛屿)的路上，
不到土耳其海岸一英里。

525
00:39:20,040 --> 00:39:24,760
这已成为等同于希腊数学的诞生地，

526
00:39:24,800 --> 00:39:27,680
直至一个人的传说。

527
00:39:30,800 --> 00:39:32,880
他的名字叫毕达哥拉斯(Pythagoras)。

528
00:39:32,920 --> 00:39:36,280
传说围绕着两千多年前，

529
00:39:36,320 --> 00:39:40,080
他的生活和做出的贡献，及取得的地位。

530
00:39:40,120 --> 00:39:44,720
不管正确与否，他被认为 

531
00:39:44,760 --> 00:39:50,000
首先把数学从记账工具转变成分析学科，
象我们今天一样。

532
00:39:53,960 --> 00:39:56,920
毕达哥拉斯是一个有争议的人。

533
00:39:56,960 --> 00:40:00,120
由于他没有留下数学著作，

534
00:40:00,160 --> 00:40:04,680
很多人质疑他是否真的解决了任何归咎于他的定理。

535
00:40:04,720 --> 00:40:07,720
公元前600年，他在萨摩斯岛创建了学校，

536
00:40:07,760 --> 00:40:13,200
但他的所传授的知识是保密的，
毕达哥拉斯学派是一个奇怪的教派。

537
00:40:14,760 --> 00:40:19,480
充分证据表明有毕达哥拉斯学派的学校，

538
00:40:19,520 --> 00:40:25,680
它们看起来可能比我们的哲学学校更像教派，

539
00:40:25,720 --> 00:40:30,680
因为他们不只分享知识，
他们也分享一种生活方式。

540
00:40:30,720 --> 00:40:35,840
可能是群体生活，

541
00:40:35,880 --> 00:40:39,760
他们似乎参与了城市的政治。

542
00:40:39,800 --> 00:40:45,200
一个特色，毕达哥拉斯打破了性别界限，
他们吸收妇女会员。

543
00:40:46,360 --> 00:40:52,040
不过，毕达哥拉斯，
了解埃及人和巴比伦人知道的东西 

544
00:40:52,080 --> 00:40:55,800
如直角三角形的性质。

545
00:40:55,840 --> 00:40:58,000
著名的毕达哥拉斯定理

546
00:40:58,040 --> 00:41:01,120
指出，任取一个直角三角形，

547
00:41:01,160 --> 00:41:05,080
每条边为边长做一个正方形，那么，

548
00:41:05,120 --> 00:41:09,080
斜边上的正方形面积等于
两个直角边上正方形面积之和。

549
00:41:13,040 --> 00:41:16,440
对我来说，正是这一点，

550
00:41:16,480 --> 00:41:19,640
数学和与其他科学之间产生了鸿沟，

551
00:41:19,680 --> 00:41:24,360
证明很简单，同时它的影响也是毁灭性的。

552
00:41:24,400 --> 00:41:29,600
取四个直角三角形覆盖到表面。

554
00:41:29,640 --> 00:41:31,480
你可以看到内部正方形的边长

555
00:41:31,520 --> 00:41:35,200
等于三角形的斜边。

556
00:41:35,240 --> 00:41:37,360
通过左右滑动三角形，

557
00:41:37,400 --> 00:41:40,480
我们看到，

558
00:41:40,520 --> 00:41:42,920
我们可以把大正方形分成两个小正方形，

559
00:41:42,960 --> 00:41:47,040
其中边长等于三角形的两个直角边。

560
00:41:47,080 --> 00:41:51,800
换言之，斜边组成的正方形面积等于
两个直角边组成的正方形面积之和。

561
00:41:51,840 --> 00:41:55,600
这就是毕达哥拉斯定理。

562
00:41:57,840 --> 00:42:02,160
它说明了希腊数学的特色主题之一 - 

563
00:42:02,200 --> 00:42:07,360
求助于美丽的几何认证，而不是依赖于数。

564
00:42:11,200 --> 00:42:15,760
毕达哥拉斯可能不受欢迎，
很多发现创造归功于他的名下。

565
00:42:15,800 --> 00:42:21,600
最近一直有争议，但有一个数学理论，
我不愿意从他身上抢走。

566
00:42:21,640 --> 00:42:25,600
这是与音乐有关的调和级数的发现。

567
00:42:27,480 --> 00:42:31,240
据说，有一天走过一个铁匠铺，

568
00:42:31,280 --> 00:42:33,560
毕达哥拉斯听到铁砧的敲打声，

569
00:42:33,600 --> 00:42:38,560
注意到怎样才能奏出和谐悦耳的音符。

570
00:42:38,600 --> 00:42:42,000
他认为，必定有某种合理的解释，

571
00:42:42,040 --> 00:42:45,840
为什么音符听起来非常吸引人。

572
00:42:45,880 --> 00:42:48,320
答案是数学。

573
00:42:53,280 --> 00:42:57,880
以弦乐器进行实验，毕达哥拉斯发现

574
00:42:57,920 --> 00:43:03,200
和谐音符之间的间隔时间总能表示成整数比例。

575
00:43:05,000 --> 00:43:07,920
下面是他如何构建他的理论。

576
00:43:10,520 --> 00:43:14,880
首先，在空弦上弹一个音符。

578
00:43:14,920 --> 00:43:16,800
接下来，取其长度的一半。

579
00:43:18,760 --> 00:43:21,920
听起来跟第一个音符几乎一样。

580
00:43:21,960 --> 00:43:26,880
事实上，这是一个高八度，但关系很强，
我们给这些音符一个相同的名称。

581
00:43:26,920 --> 00:43:28,720
现在取三分之一的长度。

582
00:43:31,400 --> 00:43:35,400
我们得到了另一个音符，和前两个音符一起弹奏
是悦耳的，这叫谐和（或调和），

583
00:43:35,440 --> 00:43:41,000
当取弦的长度不是一个整体比，
我们得到不谐和音。

584
00:43:46,400 --> 00:43:50,760
据传说，毕达哥拉斯对这个发现非常兴奋，

585
00:43:50,800 --> 00:43:54,200
他断定，“万物皆数”。

586
00:43:54,240 --> 00:43:59,800
但他和他的追随者遇到了和他们的信条相抵触的挑战，

587
00:43:59,840 --> 00:44:04,880
它作为毕达哥拉斯定理的结果出现。

588
00:44:06,920 --> 00:44:12,160
传说，他的追随者之一，
数学家希帕索斯（Hippasus），

589
00:44:12,200 --> 00:44:15,240
考虑了一个问题：

590
00:44:15,280 --> 00:44:19,520
两条边长为1的直角三角形其斜边长多少？

591
00:44:19,560 --> 00:44:25,280
毕达哥拉斯定理暗示了斜边长是一个平方是2数。

592
00:44:25,320 --> 00:44:29,320
毕达哥拉斯学派假定答案是一个分数，

593
00:44:29,360 --> 00:44:35,760
但是，希帕索斯发现无论他如何努力，
这一长度不能用分数表示。

594
00:44:35,800 --> 00:44:38,360
最后，他意识到自己错了。

595
00:44:38,400 --> 00:44:43,080
假定这个值是分数是错误的。

596
00:44:43,120 --> 00:44:49,200
耶鲁大学收藏的一块巴比伦人
泥版上载有2的平方根的值。

597
00:44:49,240 --> 00:44:53,080
然而，他们没有意识到这个数字的特殊性质。

598
00:44:53,120 --> 00:44:54,800
但希帕索斯却发现了。

599
00:44:54,840 --> 00:44:57,320
这是一个无理数。

600
00:45:00,680 --> 00:45:04,560
这一新数的发现，

601
00:45:04,600 --> 00:45:09,000
就像哥伦布发现了新大陆，
或博物学家发现了一个新物种。

602
00:45:09,040 --> 00:45:13,280
但这些无理数不符合毕达哥拉斯的信条。

603
00:45:13,320 --> 00:45:18,880
后来希腊评论家讲述毕达哥拉斯学派
发誓保密的故事，

604
00:45:18,920 --> 00:45:21,600
但希帕索斯泄露了这一发现，

605
00:45:21,640 --> 00:45:25,360
在他企图传播他们的研究时被抛进了大海。

606
00:45:26,880 --> 00:45:32,200
但是，这些数学发现不容易被查禁。

607
00:45:32,240 --> 00:45:37,680
哲学和科学的学校在希腊各地开始蓬勃发展。

608
00:45:37,720 --> 00:45:42,120
其中最有名的是“学院”（后世学院一词由此而来）。

609
00:45:42,160 --> 00:45:47,320
公元前387年，柏拉图于雅典创办了这个学校。

610
00:45:47,360 --> 00:45:53,800
虽然今天我们把他看作一个哲学家，
但他对数学影响很大。

611
00:45:53,840 --> 00:45:57,480
柏拉图着迷于毕达哥拉斯的世界观

612
00:45:57,520 --> 00:46:01,800
并认为数学是知识的基石。

613
00:46:01,840 --> 00:46:06,840
有些人会说，

614
00:46:06,880 --> 00:46:09,840
柏拉图是希腊数学最有影响力的人物。

615
00:46:09,880 --> 00:46:14,880
他认为，数学是知识的重要形式，

616
00:46:14,920 --> 00:46:17,360
和现实相连接。

617
00:46:17,400 --> 00:46:23,240
因此，通过学习数学，我们能更深入了解现实。

618
00:46:23,280 --> 00:46:29,000
在他的对话《蒂迈欧篇》中，柏拉图提出，

619
00:46:29,040 --> 00:46:33,240
几何是打开宇宙之谜的钥匙，
今天科学家们仍然坚持的观点。

620
00:46:33,280 --> 00:46:37,240
事实上，柏拉图非常重视几何。

621
00:46:37,280 --> 00:46:43,720
在学院门口立了块碑：“不懂几何者不准入内”。

622
00:46:47,320 --> 00:46:53,480
柏拉图提出，宇宙可分为5个对称形状的晶体。

623
00:46:53,520 --> 00:46:56,400
这些形状，我们现在称之为柏拉图体，

624
00:46:56,440 --> 00:47:02,840
即5种正多面体。

626
00:47:02,880 --> 00:47:05,480
正四面体代表“火”。

627
00:47:05,520 --> 00:47:09,720
正二十面体，代表“水”。

628
00:47:09,760 --> 00:47:11,920
稳定的立方体(即正六面体)代表“土”。

629
00:47:11,960 --> 00:47:15,640
正八面体代表“空气”。

630
00:47:15,680 --> 00:47:19,200
第五个柏拉图体，十二面体，

631
00:47:19,240 --> 00:47:22,040
由12个五边形组成，

632
00:47:22,080 --> 00:47:25,760
组成了柏拉图的宇宙观（叫做以太）。

633
00:47:29,400 --> 00:47:33,400
柏拉图的理论影响深远，

634
00:47:33,440 --> 00:47:37,160
并激励数学家和天文学家超过1500年。

635
00:47:38,160 --> 00:47:40,880
除了在学院所取得的突破，

636
00:47:40,920 --> 00:47:45,640
数学的胜利出现在希腊帝国的边缘，

637
00:47:45,680 --> 00:47:51,280
主要归功于埃及及希腊的数学遗产。

638
00:47:51,320 --> 00:47:57,760
公元前3世纪，托勒密王朝（Ptolemies）的统治下，
亚历山大成为学术文化中心，

639
00:47:57,800 --> 00:48:04,080
著名的图书馆很快赢得了声誉，
可以跟柏拉图学院媲美。

640
00:48:04,120 --> 00:48:11,520
亚历山大国王大力推倡艺术、文化，

641
00:48:11,560 --> 00:48:14,720
科技，数学，语法，

642
00:48:14,760 --> 00:48:19,440
因为学术追求的支持

643
00:48:19,480 --> 00:48:30,080
可以显示是一个远见卓识的统治者。

645
00:48:31,840 --> 00:48:34,840
到公元7世纪，埃及被穆斯林征服。

646
00:48:34,880 --> 00:48:38,600
古老的图书馆和宝贵书籍付之一炬，

647
00:48:38,640 --> 00:48:41,440
但它的精神还活在这个新的建筑里。

648
00:48:43,480 --> 00:48:47,320
今天，图书馆仍然是发现和学术研究的地方。

649
00:48:51,840 --> 00:48:55,120
数学家和哲学家涌入亚历山大

650
00:48:55,160 --> 00:48:58,280
出于对知识的渴望和卓越的追求。

651
00:48:58,320 --> 00:49:02,240
该图书馆的赞助人是第一个职业科学家，

652
00:49:02,280 --> 00:49:05,800
有研究经费的个人。

653
00:49:05,840 --> 00:49:07,920
但所有这些早期的先驱者中，

654
00:49:07,960 --> 00:49:12,080
我心目中的英雄是神秘的希腊数学家欧几里得(Euclid)。

655
00:49:15,800 --> 00:49:18,320
我们对欧几里得的生活所知甚少，

656
00:49:18,360 --> 00:49:22,560
但他最大的成就是数学的编年史。

657
00:49:22,600 --> 00:49:27,800
大约公元前300年，
他写了有史以来最重要的教科书

658
00:49:27,840 --> 00:49:30,280
《几何原本》，在《几何原本》中，

659
00:49:30,320 --> 00:49:36,160
我们找到了希腊数学革命的巅峰。

661
00:49:38,120 --> 00:49:42,440
它建立在一系列的数学假设，公理上。

662
00:49:42,480 --> 00:49:47,200
例如，两点确定一条直线。

663
00:49:47,240 --> 00:49:51,960
从这些公理出发，通过逻辑推理建立定理。

664
00:49:55,120 --> 00:49:59,560
《几何原本》包含了计算锥体、圆柱体体积公式，

665
00:49:59,600 --> 00:50:05,360
关于几何级数、完全数和素数的证明。

667
00:50:05,400 --> 00:50:09,960
《几何原本》的高潮是证明了
只有5种柏拉图立体。

668
00:50:12,800 --> 00:50:17,480
对我来说，这个定理说明了数学的力量。

669
00:50:17,520 --> 00:50:20,280
构建5个对称的立方体是一回事，

667
00:50:20,320 --> 00:50:25,800
想出一个滴水不漏的，逻辑论证
为什么不可能有第6个完全是另一回事。

671
00:50:25,840 --> 00:50:29,800
《几何原本》就像一个精彩的，
合乎逻辑的推理小说。

672
00:50:29,840 --> 00:50:32,920
但是这是一个超越时间的故事。

673
00:50:32,960 --> 00:50:36,760
一代又下一代，科学理论被一次又一次推倒重建，

674
00:50:36,800 --> 00:50:43,120
但《几何原本》的定理，今天还是正确的，
正如他们在2000年前。

675
00:50:43,160 --> 00:50:46,680
当你停下来想想，这真的非常了不起。

676
00:50:46,720 --> 00:50:48,360
我们教同样的定理。

677
00:50:48,400 --> 00:50:53,160
我们可以用稍有不同的方式教学，
我们可以用不同的组织，

678
00:50:53,200 --> 00:50:57,400
但欧几里得几何仍然有效，

679
00:50:57,440 --> 00:51:01,520
甚至在高等数学，当你涉及到高维空间，

680
00:51:01,560 --> 00:51:03,760
你还能使用欧氏几何。

681
00:51:05,320 --> 00:51:09,280
亚历山大必须是一个令古代学者振奋的地方，

682
00:51:09,320 --> 00:51:15,560
欧几里得的知名度吸引了更多的
青年知识分子来到埃及港口。

683
00:51:15,600 --> 00:51:21,880
特别喜欢亚历山大学术环境的是
数学家阿基米德(Archimedes)。

684
00:51:22,880 --> 00:51:26,400
他将成为一个数学的高瞻远瞩者。

685
00:51:26,440 --> 00:51:31,280
最伟大的希腊数学家，他们总是挑战极限，

686
00:51:31,320 --> 00:51:32,760
挑战极限。

687
00:51:32,800 --> 00:51:35,400
因此，阿基米德...

688
00:51:35,440 --> 00:51:38,400
做了关于多边形，

689
00:51:38,440 --> 00:51:40,720
立方体的研究。

690
00:51:40,760 --> 00:51:43,560
他后来转移到重心。

691
00:51:43,600 --> 00:51:47,880
接着他转移到螺旋式。

692
00:51:47,920 --> 00:51:57,640
试图对一切数学化的本能在我看来是一个传统。

694
00:51:58,760 --> 00:52:03,480
阿基米德的特长之一是设计大规模杀伤性武器。

695
00:52:03,520 --> 00:52:09,560
公元前212年，罗马人侵略了他在锡拉库扎
(西西里岛东部)的家园，它们被用来对付入侵。

696
00:52:09,600 --> 00:52:13,400
他还设计了一面利用太阳能的镜子，

697
00:52:13,440 --> 00:52:15,960
放火焚烧了罗马的船只。

698
00:52:16,000 --> 00:52:20,720
但对阿基米德，这些发明只不过是
研究几何之余供消遣的玩意。

699
00:52:20,760 --> 00:52:23,480
他有更高的志气。

700
00:52:26,280 --> 00:52:32,760
阿基米德对纯数学着迷，
相信研究数学是因为数学本身，

701
00:52:32,800 --> 00:52:37,000
而不是为了工程，
卑鄙的贸易或追求肮脏的利润。

702
00:52:37,040 --> 00:52:41,040
他在纯数学中最好的研究结果之一

703
00:52:41,080 --> 00:52:45,040
是给出了计算规则图形面积的公式。(穷竭法)

704
00:52:47,000 --> 00:52:52,680
阿基米德的方法是用已经理解的图形来求新图形。

705
00:52:52,720 --> 00:52:55,920
例如，为了计算一个圆的面积，

706
00:52:55,960 --> 00:53:01,120
他先用一个外切三角形，
然后增加三角形边长的一倍，

707
00:53:01,160 --> 00:53:05,520
封闭的形状会越来越接近圆。

708
00:53:05,560 --> 00:53:07,560
事实上，

709
00:53:07,600 --> 00:53:10,560
我们有时把圆称作是一个有无限多边的多边形。

710
00:53:10,600 --> 00:53:14,400
但是，通过估计圆的面积，阿基米德，事实上，

711
00:53:14,440 --> 00:53:18,680
得到了pi的值，数学里最重要的数。

712
00:53:19,720 --> 00:53:25,960
然而，阿基米德在计算体积中更出色。

713
00:53:26,000 --> 00:53:29,000
他找到了一种方法计算球的体积

714
00:53:29,040 --> 00:53:33,480
把它切片，每一片用圆柱体近似。

715
00:53:33,520 --> 00:53:36,320
然后，把所有小片的体积加起来，

716
00:53:36,360 --> 00:53:39,680
就得到球体积的近似值。

717
00:53:39,720 --> 00:53:42,640
但他的天才之处在于如果你切片越薄，

718
00:53:42,680 --> 00:53:45,480
看看会发生什么。

719
00:53:45,520 --> 00:53:50,240
取极限，近似值就变成了精确值。

720
00:53:54,320 --> 00:53:59,240
正是阿基米德对数学的奉献，导致了他的死亡。

721
00:54:01,360 --> 00:54:06,160
当阿基米德正在出神地思考沙盘上的数学问题。

722
00:54:06,200 --> 00:54:08,800
一个刚攻入城的罗马士兵向他喝问，

723
00:54:08,840 --> 00:54:14,840
阿基米德是如此全神贯注于
他的问题以至于他坚持要完成他的定理。

724
00:54:14,880 --> 00:54:20,120
但罗马士兵对阿基米德的问题不感兴趣，
当场就刺死了他。

725
00:54:20,160 --> 00:54:25,000
即使到死，阿基米德对数学的专注仍坚定不移。

726
00:54:46,600 --> 00:54:49,680
到了公元前1世纪中叶，

727
00:54:49,720 --> 00:54:53,720
罗马完全征服希腊帝国。

728
00:54:53,760 --> 00:54:56,520
他们不迷恋数学之美，

729
00:54:56,560 --> 00:54:59,840
更关心数学的实际应用。

730
00:54:59,880 --> 00:55:05,720
这种务实的态度标志着为伟大的
亚历山大图书馆落下帷幕。

731
00:55:05,760 --> 00:55:09,960
但有一个数学家决心保护希腊人的遗产。

732
00:55:10,000 --> 00:55:14,840
希帕蒂娅（Hypatia）是一个例外，
历史上第一个有记载的女数学家，

733
00:55:14,880 --> 00:55:18,000
在虔诚基督教的罗马帝国，她是一个异教徒。

734
00:55:19,920 --> 00:55:24,760
在她那个时代，希帕蒂娅有很高的威望，
非常有影响力。

735
00:55:24,800 --> 00:55:30,640
她有很多学生，很多追随者。

736
00:55:30,680 --> 00:55:34,880
她对亚历山大的政治有影响力。

737
00:55:34,920 --> 00:55:37,760
因此，这种结合...

738
00:55:37,800 --> 00:55:44,040
丰富的知识，极高的威望，

739
00:55:44,080 --> 00:55:49,280
可能使她成为基督教暴徒仇恨的对象。

741
00:55:55,000 --> 00:55:59,000
四旬斋（指复活节前的40天）的一个早晨，

00:55:59,040 --> 00:56:03,040
希帕蒂娅从马车上被狂热的
基督教暴徒拽了下来，拖到教堂内。

743
00:56:03,080 --> 00:56:06,760
在那里，她被折磨并残忍地杀害。

744
00:56:09,520 --> 00:56:12,440
希帕蒂娅传奇的一生

745
00:56:12,480 --> 00:56:15,200
为后人所着迷。

746
00:56:15,240 --> 00:56:20,880
可悲的是，她的偶像地位，
使她的数学成就黯然失色。

747
00:56:20,920 --> 00:56:23,920
事实上，她是一个有才气的老师和理论家，

748
00:56:23,960 --> 00:56:29,640
她的死亡给了亚历山大的希腊数学遗产最后一击。

749
00:56:37,040 --> 00:56:40,880
我的旅行给了我一个迷人的旅程，

750
00:56:40,920 --> 00:56:46,080
揭示最早数学家的激情和创新。

751
00:56:46,120 --> 00:56:51,120
埃及、巴比伦和希腊先驱的成就，

752
00:56:51,160 --> 00:56:55,520
构建了我们今天学科的基础。

753
00:56:55,560 --> 00:56:58,960
但是，这只是我数学长途行程的开始。

754
00:56:59,000 --> 00:57:02,600
旅程的下一站是东方，亚洲的深处，

755
00:57:02,640 --> 00:57:08,000
那里的数学家追求知识的规模将达到新的高度。

757
00:57:08,040 --> 00:57:11,920
一个代数和数字语言的新时代来临了，

758
00:57:11,960 --> 00:57:16,120
将在下一章的数学故事里讲述。