1
00:00:10,380 --> 00:00:16,340
从时间测量到了解我们在宇宙中的位置

2
00:00:16,340 --> 00:00:19,940
从绘制地图到海上航行，

3
00:00:19,940 --> 00:00:24,780
从人类的最早发明到今天的先进技术，

4
00:00:24,780 --> 00:00:29,300
数学一直是人类赖以生存的枢纽。

5
00:00:34,180 --> 00:00:36,620
人类数学之旅的第一步

6
00:00:36,620 --> 00:00:42,580
被埃及，美索不达米亚和希腊的古代文化所吸引，

7
00:00:42,580 --> 00:00:48,740
文化中创造了一些数和计算的基本语言。

8
00:00:48,740 --> 00:00:51,980
但是，当古希腊陷入衰退，

9
00:00:51,980 --> 00:00:54,780
数学进展停止。

10
00:00:58,140 --> 00:00:59,980
但是，那是在西方。 

11
00:00:59,980 --> 00:01:05,460
在东方，数学将达到新的高度。

12
00:01:08,820 --> 00:01:15,260
西方，许多数学遗产被遗忘或隐藏。

14
00:01:15,260 --> 00:01:19,020
应有的荣誉尚未给予数学大突破

15
00:01:19,020 --> 00:01:22,380
最终改变我们生活的世界。

16
00:01:22,380 --> 00:01:25,700
这是不为人知的东方数学故事，

17
00:01:25,700 --> 00:01:30,100
这将改变西方，并将产生现代世界.

18
00:02:05,140 --> 00:02:09,900
中国跨越数千公里的长城

19
00:02:09,900 --> 00:02:13,660
花类近2000年才建成这个巨大的防御墙，

20
00:02:13,660 --> 00:02:18,900
开始于公元前220年，为了保护中华帝国。 

21
00:02:20,660 --> 00:02:24,460
中国的长城是一个壮举的工程，

22
00:02:24,460 --> 00:02:26,980
建立在崇山峻岭、峭壁深壑。

23
00:02:26,980 --> 00:02:29,020
当工程开工后，

24
00:02:29,020 --> 00:02:32,340
古人认识到，他们要计算距离，

25
00:02:32,340 --> 00:02:36,620
仰角和原材料数量。

26
00:02:36,620 --> 00:02:39,660
因此，这也不足为奇

27
00:02:39,660 --> 00:02:43,340
激发了一些非常聪明的数学家帮助建立帝国。

28
00:02:43,340 --> 00:02:46,820
古代中国数学的核心

29
00:02:46,820 --> 00:02:49,780
是一个令人难以置信的计数法，

30
00:02:49,780 --> 00:02:53,660
它奠定今天西方数学的基石。

31
00:02:58,420 --> 00:03:03,340
当数学家需要求和，他就使用小竹子（算筹）。
 
32
00:03:03,340 --> 00:03:08,260
这些棒的组合代表了数字1到9。

33
00:03:14,420 --> 00:03:17,100
每个位置代表

34
00:03:17,100 --> 00:03:21,180
个位，

35
00:03:21,180 --> 00:03:23,340
十，百，千，等等。

36
00:03:25,340 --> 00:03:28,780
因此，数字924就代表

37
00:03:28,780 --> 00:03:33,740
放置在个位上的4，十位上的2 

38
00:03:33,740 --> 00:03:36,940
和百位上的9。

39
00:03:43,620 --> 00:03:46,780
这就是我们所说的十进制，

40
00:03:46,780 --> 00:03:49,860
非常类似于我们今天使用的。

41
00:03:49,860 --> 00:03:53,060
我们也使用1到9不同的位置，

42
00:03:53,060 --> 00:03:57,380
表示几个，几十，几百或几千。 

43
00:03:57,380 --> 00:04:01,300
计数棒的威力使计算非常快。

44
00:04:01,300 --> 00:04:04,580
事实上，古代的计算方式

45
00:04:04,580 --> 00:04:07,060
非常相似今天在学校学习的。 

46
00:04:12,420 --> 00:04:14,340
古代中国

47
00:04:14,340 --> 00:04:17,820
不仅是第一个使用十进制，

48
00:04:17,820 --> 00:04:22,180
而且在西方采用之前就已经用了1000多年。

49
00:04:22,180 --> 00:04:26,100
但只有计算时才用到计数棒。

50
00:04:26,100 --> 00:04:28,460
当记下数字，

51
00:04:28,460 --> 00:04:31,500
古人没有使用位值制，

52
00:04:34,100 --> 00:04:37,460
相反，他们使用更费力的方法，

53
00:04:37,460 --> 00:04:42,860
用特殊符号表示几十，几百，几千等等，

54
00:04:44,380 --> 00:04:47,260
数字924会被写为 

55
00:04:47,260 --> 00:04:51,700
9个100，2个10，1个4，

56
00:04:51,700 --> 00:04:53,420
效率不高。

57
00:04:54,940 --> 00:04:56,460
问题

58
00:04:56,460 --> 00:04:59,540
在于古人没有零的概念。

59
00:04:59,540 --> 00:05:03,260
他们没有零的符号，它只是作为一个不存在数字。

60
00:05:03,260 --> 00:05:05,100
使用计数棒，

61
00:05:05,100 --> 00:05:08,940
用一个空位，而今天会写一个0。

62
00:05:08,940 --> 00:05:12,460
问题出在开始写这个数时，

63
00:05:12,460 --> 00:05:16,180
这就是为什么我们必须创造十、百、千的新符号。

64
00:05:16,180 --> 00:05:20,340
没有零，可写的数字极为有限。 

65
00:05:22,860 --> 00:05:25,780
但是零的缺乏并没有阻碍

66
00:05:25,780 --> 00:05:30,260
古代中国在数学上取得巨大进步。 

67
00:05:30,260 --> 00:05:32,780
事实上，

68
00:05:32,780 --> 00:05:35,260
古代中国对数字有强烈爱好。

69
00:05:35,260 --> 00:05:39,380
相传，公元前2800年，

70
00:05:39,380 --> 00:05:41,900
中华民族的始祖--黄帝

71
00:05:41,900 --> 00:05:44,780
建立了数学，

72
00:05:44,780 --> 00:05:50,060
相信数字有宇宙的含义。

73
00:05:50,060 --> 00:05:54,220
直到今天，中国人还相信数字的神秘力量。

74
00:05:57,300 --> 00:06:01,780
奇数代表男性，偶数代表女性。

75
00:06:01,780 --> 00:06:05,220
数字4，应不惜一切代价避免。

76
00:06:05,220 --> 00:06:07,660
数字8带来好运。 

77
00:06:08,780 --> 00:06:12,260
古代中国人被数字模式所吸引，

78
00:06:12,260 --> 00:06:15,780
开发了自己早期的“数独”（sudoku）版本。

79
00:06:17,860 --> 00:06:20,500
这被称为幻方（纵横图）。

80
00:06:24,420 --> 00:06:28,780
关于幻方的起源，传说，几千年前

81
00:06:28,780 --> 00:06:32,980
大禹治洪水时，洛水中浮出一只神龟，

82
00:06:32,980 --> 00:06:34,820
它的背上有组成幻方的数字，

83
00:06:34,820 --> 00:06:37,940
人们称之为“洛书”。有点像这个。

84
00:06:46,500 --> 00:06:48,300
在这个方阵里，

85
00:06:48,300 --> 00:06:51,980
有一个伟大的宗教意义，

86
00:06:51,980 --> 00:06:56,220
图中任意一横行、一纵行及对角线的

87
00:06:56,220 --> 00:06:59,660
几个数之和都等于15，

88
00:07:02,620 --> 00:07:05,660
现在，幻方也许只是一个有趣的智力难题，

89
00:07:05,660 --> 00:07:08,300
但它显示了古代中国对数学模式的魅力，

90
00:07:08,300 --> 00:07:11,220
而且不久，

91
00:07:11,220 --> 00:07:14,220
他们创造了更大和

92
00:07:14,220 --> 00:07:18,340
更高阶的幻方，

93
00:07:25,140 --> 00:07:27,500
数学在宫廷的运作

94
00:07:27,500 --> 00:07:31,940
也发挥了至关重要的作用。

95
00:07:31,940 --> 00:07:35,900
日历和行星的运动 

96
00:07:35,900 --> 00:07:39,300
对皇帝都有重要意义，

97
00:07:39,300 --> 00:07:44,100
影响他们的决策，甚至一天的安排。

98
00:07:44,100 --> 00:07:47,780
因此，天文学家成为宫廷中很重要的成员。

99
00:07:47,780 --> 00:07:51,300
而天文学家又总是数学家。

100
00:07:55,380 --> 00:07:58,820
皇帝生活中的一切事情都是按照日历安排，

101
00:07:58,820 --> 00:08:02,620
并数学般精确无误的执行。

102
00:08:02,620 --> 00:08:05,820
皇帝甚至接受数学顾问

103
00:08:05,820 --> 00:08:08,460
设计的一个系统，将有助于解决

104
00:08:08,460 --> 00:08:11,820
后宫三千佳丽的“临幸”问题。

105
00:08:11,820 --> 00:08:15,020
十分机灵精明的数学顾问解决

106
00:08:15,020 --> 00:08:19,820
后宫问题的数学理念称为几何级数。

107
00:08:19,820 --> 00:08:22,900
数学从未有一个更有趣的目的。 

108
00:08:22,900 --> 00:08:26,700
传说，从初一轮到十五，

109
00:08:26,700 --> 00:08:30,540
皇帝有义务“临幸”121个嫔妃。

110
00:08:36,460 --> 00:08:38,740
皇后、

111
00:08:38,740 --> 00:08:41,020
三夫人、

112
00:08:41,020 --> 00:08:43,460
九嫔、

113
00:08:43,460 --> 00:08:45,540
二十七世妇、

114
00:08:45,540 --> 00:08:47,820
八十一御妻。

115
00:08:49,620 --> 00:08:52,540
数学家很快就意识到

116
00:08:52,540 --> 00:08:56,380
这是一个几何级数，

117
00:08:56,380 --> 00:08:58,900
一列数，其中后一项都是前一项

118
00:08:58,900 --> 00:09:03,420
乘以相同的数，这里就是3。

119
00:09:04,620 --> 00:09:08,860
每个组嫔妃的数量是前一组的3倍，

120
00:09:08,860 --> 00:09:13,180
所以，数学家能够迅速拟订一个花名册， 

121
00:09:13,180 --> 00:09:15,180
以确保在15晚上，

122
00:09:15,180 --> 00:09:18,540
皇帝能“临幸”每一位后宫。

123
00:09:20,060 --> 00:09:23,860
第一天晚上，供皇后一个人独享。

124
00:09:23,860 --> 00:09:26,700
第二天，三夫人共享一晚上，

125
00:09:26,700 --> 00:09:29,380
接下来的一天，九嫔共享，

126
00:09:29,380 --> 00:09:35,540
二十七世妇也是每晚九个轮流，

127
00:09:35,540 --> 00:09:39,220
最后，八十一御妻（女御），分成九个晚上，

128
00:09:39,220 --> 00:09:42,380
每晚九个。

129
00:09:48,260 --> 00:09:51,140
作为皇帝必定需要耐力，

130
00:09:51,140 --> 00:09:52,900
有点像一个数学家,

131
00:09:52,900 --> 00:09:54,940
但目的是明确的：

132
00:09:54,940 --> 00:09:58,780
尽可能寻求最好的皇位继承人。

133
00:09:58,780 --> 00:10:00,780
这个花名册确保，皇帝

134
00:10:00,780 --> 00:10:04,580
宠幸级别最高的佳丽更接近满月，

135
00:10:04,580 --> 00:10:06,980
那时女性的力量，阴，

136
00:10:06,980 --> 00:10:11,540
将达到最高，能够匹配皇帝的阳，男性的力量。

137
00:10:16,500 --> 00:10:20,900
在宫廷中，对数学的依赖并不孤单，

138
00:10:20,900 --> 00:10:23,700
它是国家运作必不可少的。

139
00:10:23,700 --> 00:10:28,660
古代中国发展成一个伟大的帝国，具有严格的法律，

140
00:10:28,660 --> 00:10:30,340
全面的税务制度

141
00:10:30,340 --> 00:10:33,980
和度量衡和货币制度。

142
00:10:35,900 --> 00:10:37,700
帝国需要 

143
00:10:37,700 --> 00:10:41,900
文职训练有素，数学方面能胜任 。

144
00:10:43,980 --> 00:10:47,980
并用数学教科书培养文职人员，

145
00:10:47,980 --> 00:10:52,140
《九章算术》大概写于公元前200年，

146
00:10:54,700 --> 00:10:58,540
全书采用问题集的形式，

147
00:10:58,540 --> 00:11:03,260
收有246个与贸易、计算税收等实践有联系的应用问题，

148
00:11:06,100 --> 00:11:09,140
这些问题的本质

149
00:11:09,140 --> 00:11:13,740
在数学的核心是如何解方程。

150
00:11:16,500 --> 00:11:19,500
方程类似填字游戏。

151
00:11:19,500 --> 00:11:21,900
给定未知数一定数量的等量关系，

152
00:11:21,900 --> 00:11:24,780
从已知的等量关系

153
00:11:24,780 --> 00:11:27,660
如何推导未知数。

154
00:11:27,660 --> 00:11:29,940
例如：用秤砣和磅秤

155
00:11:29,940 --> 00:11:31,980
我发现1个李子...

156
00:11:33,100 --> 00:11:36,260
和3个桃子

157
00:11:36,260 --> 00:11:39,820
总重15克。

158
00:11:41,580 --> 00:11:42,980
但是...

159
00:11:44,180 --> 00:11:46,100
2个李子

160
00:11:46,100 --> 00:11:48,780
和1个桃子

161
00:11:48,780 --> 00:11:51,060
总重10克。

162
00:11:51,060 --> 00:11:55,380
这些信息可以推导出

163
00:11:55,380 --> 00:11:59,460
1个李子和1个桃子多少重。这就是我做的： 

164
00:12:00,980 --> 00:12:02,980
首先我选择盘子的第1组，

165
00:12:02,980 --> 00:12:05,620
1个李子和3个桃子总重15克，

166
00:12:05,620 --> 00:12:11,900
2倍得2个李子和6个桃子总重30克.

167
00:12:14,660 --> 00:12:18,500
然后我取走盘子的第2组

168
00:12:18,500 --> 00:12:21,220
也就是2个李子和1个桃子总重10克。

169
00:12:21,220 --> 00:12:26,300
没了李子，就有了一个有趣到结果。

171
00:12:26,300 --> 00:12:28,460
去掉了李子，

172
00:12:28,460 --> 00:12:31,700
5个桃子就重20克，

173
00:12:31,700 --> 00:12:34,660
这样桃子每个重4克。

174
00:12:34,660 --> 00:12:39,100
这样可以推出李子每个重3克。

175
00:12:39,100 --> 00:12:43,020
用类似的方法，古代中国人

176
00:12:43,020 --> 00:12:45,580
可以解更大的未知数，

177
00:12:45,580 --> 00:12:51,020
更复杂的方程。

178
00:12:51,020 --> 00:12:52,900
令人惊奇的是， 

179
00:12:52,900 --> 00:12:55,620
直到19世纪初

180
00:12:55,620 --> 00:12:59,500
西方才出现这种解决方程的方法。

181
00:12:59,500 --> 00:13:03,860
1809年，当研究小行星带一颗小惑星，

182
00:13:03,860 --> 00:13:05,700
数学王子—— 

183
00:13:05,700 --> 00:13:08,500
卡尔·弗里德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）

184
00:13:08,500 --> 00:13:10,180
重新发现了这个方法，

185
00:13:10,180 --> 00:13:13,780
古代中国在几个世纪以前就用公式表示了。

186
00:13:13,780 --> 00:13:17,740
再次，古代中国走在了欧洲的前列。

187
00:13:21,580 --> 00:13:24,140
但是，中国接着解决

188
00:13:24,140 --> 00:13:28,140
涉及更多的数的更复杂的方程。

189
00:13:28,140 --> 00:13:31,380
被称为“中国剩余定理”，

190
00:13:31,380 --> 00:13:35,540
中国人提及了新的一类问题。

191
00:13:35,540 --> 00:13:38,780
这里，给定

192
00:13:38,780 --> 00:13:42,620
未知数除以一个给定数所得余数的同余方程组，

193
00:13:42,620 --> 00:13:44,660
例如：3，5，7。

194
00:13:46,500 --> 00:13:50,700
当然，这是一个抽象的数学问题，

195
00:13:50,700 --> 00:13:54,860
但古代中国人仍然用实际问题表达。 

196
00:13:56,940 --> 00:13:59,940
市场里，一位妇女有一个鸡蛋托盘，

197
00:13:59,940 --> 00:14:02,780
但她不知道有多少个鸡蛋。

198
00:14:02,780 --> 00:14:06,140
所知道的是，如果3个1组，

199
00:14:06,140 --> 00:14:09,300
剩1个; 

200
00:14:09,300 --> 00:14:13,220
如果5个1组，剩2个;  

201
00:14:13,220 --> 00:14:16,180
如果7个1组，

202
00:14:16,180 --> 00:14:18,980
剩3个;  

203
00:14:18,980 --> 00:14:22,660
古代中国人发现了一个系统方法

204
00:14:22,660 --> 00:14:26,660
计算出托盘最少可能的鸡蛋是52.

205
00:14:26,660 --> 00:14:29,740
但最令人惊讶的是，

206
00:14:29,740 --> 00:14:31,580
使用这么小的数目，象3，5和7。

207
00:14:31,580 --> 00:14:35,100
你可以找到一个大一点的数字，象52。

208
00:14:35,100 --> 00:14:37,100
这个看待数字的方式

209
00:14:37,100 --> 00:14:40,860
成为过去两个世纪数学的主要议题。 

210
00:14:49,500 --> 00:14:54,220
到了公元6世纪，中国剩余定理

211
00:14:54,220 --> 00:14:57,700
被用在中国古代天文测量行星运动。

212
00:14:57,700 --> 00:15:01,100
直到今天我们仍然有实际用途。

213
00:15:01,100 --> 00:15:05,940
互联网的加密编码用到数学

214
00:15:05,940 --> 00:15:10,140
起源于中国剩余定理。

215
00:15:17,940 --> 00:15:19,740
迈向13世纪， 

216
00:15:19,740 --> 00:15:22,820
数学建立了长期课程，

217
00:15:22,820 --> 00:15:26,820
全国各地分布着30多个数学学校

218
00:15:26,820 --> 00:15:30,780
中国数学的黄金时期已经到来。

219
00:15:33,140 --> 00:15:36,700
最重要的数学家叫秦九韶。

220
00:15:38,900 --> 00:15:43,620
传说，秦九韶是个恶棍。

221
00:15:43,620 --> 00:15:47,620
是一个贪官，

222
00:15:47,620 --> 00:15:51,180
仕途并不顺利，东奔西走，

223
00:15:51,180 --> 00:15:54,700
因贪污公款多次被革职，

224
00:15:54,700 --> 00:15:57,620
毒害任何挡他仕途的人。

225
00:16:00,060 --> 00:16:02,580
秦九韶被描述成

226
00:16:02,580 --> 00:16:05,020
虎狼般粗暴、

227
00:16:05,020 --> 00:16:08,100
蛇蝎般恶毒，

228
00:16:08,100 --> 00:16:11,220
因此，他是一个凶猛的战士也就不足为奇了。

229
00:16:11,220 --> 00:16:14,140
10年里，他抵挡蒙古军队的入侵，

230
00:16:14,140 --> 00:16:17,820
但是大部分日子里，他抱怨军旅生活

231
00:16:17,820 --> 00:16:19,860
剥夺了他真正的爱好。 

232
00:16:19,860 --> 00:16:22,860
不再贪污，而是专心于数学研究。 

233
00:16:34,420 --> 00:16:36,980
秦开始尝试解决方程

234
00:16:36,980 --> 00:16:40,260
试图测量我们周围的世界。

235
00:16:40,260 --> 00:16:42,140
二次方程涉及到的数上升到方阵，

236
00:16:42,140 --> 00:16:46,940
如5 × 5。 

237
00:16:47,620 --> 00:16:49,980
古代的美索不达米亚

238
00:16:49,980 --> 00:16:52,380
已经注意到这些方程能

239
00:16:52,380 --> 00:16:55,740
完美的测量二维平面形状，

240
00:16:55,740 --> 00:16:57,500
像天安门广场，

241
00:17:00,460 --> 00:17:02,660
但秦感兴趣的是更复杂的公式： 

242
00:17:02,660 --> 00:17:06,620
三次方程。

243
00:17:08,340 --> 00:17:11,100
包含了立方的数

244
00:17:11,100 --> 00:17:15,860
3次幂，例如， 
5 × 5 × 5

245
00:17:15,860 --> 00:17:19,660
并完美的拍摄三维形状， 

246
00:17:19,660 --> 00:17:22,060
像毛主席纪念堂。

247
00:17:23,580 --> 00:17:26,340
秦找到了一种解决三次方程的方法，

248
00:17:26,340 --> 00:17:28,900
工作原理是这样的：

249
00:17:32,100 --> 00:17:34,460
秦想知道

250
00:17:34,460 --> 00:17:37,940
毛主席纪念堂的确切体积。

251
00:17:40,140 --> 00:17:42,420
他知道建筑物

252
00:17:42,420 --> 00:17:45,660
体积和维度之间的关系。

253
00:17:47,340 --> 00:17:49,660
为了得到答案，

254
00:17:49,660 --> 00:17:54,220
秦利用已知条件创建一个三次方程。 

255
00:17:54,220 --> 00:17:57,740
然后对体积进行有根据的估计。

256
00:17:57,740 --> 00:18:01,660
虽然他取得了纪念堂的大部分体积， 

257
00:18:01,660 --> 00:18:03,940
仍然还有小块剩下。

258
00:18:05,460 --> 00:18:09,500
秦对这些小块重新创建一个新的三次方程。

259
00:18:09,500 --> 00:18:11,460
现在他可以优化他的第一个估计，

260
00:18:11,460 --> 00:18:15,540
试图找出这个新的三次方程的解决方案，等等。

261
00:18:18,660 --> 00:18:21,980
每次他这样做，没有测量部分正在越来越小， 

262
00:18:21,980 --> 00:18:26,780
他的估计变的越来越好。

263
00:18:28,460 --> 00:18:31,980
引人注目的是，

264
00:18:31,980 --> 00:18:35,220
秦的方法西方直到17世纪，

265
00:18:35,220 --> 00:18:39,700
艾萨克牛顿（Isaac Newton）才提出的非常类似方法，

266
00:18:39,700 --> 00:18:42,180
技术的优势在于

267
00:18:42,180 --> 00:18:46,340
可以应用到更复杂的方程。 

268
00:18:46,340 --> 00:18:50,060
秦甚至使用他的技术来

269
00:18:50,060 --> 00:18:52,300
解决一个10次方程。

270
00:18:52,300 --> 00:18:56,340
这是一个了不起的工作，极其复杂的数学。  

271
00:18:58,740 --> 00:19:01,140
秦可能是超前他到时代了，

272
00:19:01,140 --> 00:19:03,460
但他的技巧有一个问题： 

273
00:19:03,460 --> 00:19:06,300
只能给出一个近似解。 

274
00:19:06,300 --> 00:19:10,220
对工程师来说，这个结果可能足够了，
但数学家不满足于此。 

275
00:19:10,220 --> 00:19:13,780
数学是一门精密科学，我们喜欢精确的事物，

276
00:19:13,780 --> 00:19:16,660
秦并不能给出一个公式

277
00:19:16,660 --> 00:19:20,180
确切的解决这些复杂的方程。

278
00:19:28,180 --> 00:19:30,620
中国数学取得了巨大的飞跃，

279
00:19:30,620 --> 00:19:34,580
但下面的数学突破

280
00:19:34,580 --> 00:19:37,380
发生在一个中国西南部地区，

281
00:19:37,380 --> 00:19:40,700
一个有着浓厚数学传统的国家，

282
00:19:40,700 --> 00:19:43,700
将永远改变数学的面貌。 

283
00:20:14,180 --> 00:20:18,900
印度的首份份伟大的数学礼物是数字世界。

284
00:20:18,900 --> 00:20:22,980
像中国人，印度数学家发现了

285
00:20:22,980 --> 00:20:24,900
十进制的价值，

286
00:20:24,900 --> 00:20:28,860
并已用于公元三世纪中期，

287
00:20:30,580 --> 00:20:34,540
据说，印度人学会十进制是通过

288
00:20:34,540 --> 00:20:38,740
旅行在印度的中国商人的计数棒， 

289
00:20:38,740 --> 00:20:42,980
但是也有可能是自己偶然发现的。 

290
00:20:42,980 --> 00:20:46,460
由于时代久远，仍然是个谜。

291
00:20:48,660 --> 00:20:52,180
我们也许永远不会知道印度人是如何学会他们的进制， 

292
00:20:52,180 --> 00:20:55,220
但我们知道，他们不断提炼并使之完善， 

293
00:20:55,220 --> 00:20:59,140
创造全世界都在使用的9个数字.

294
00:20:59,140 --> 00:21:01,820
印度数系被认为

295
00:21:01,820 --> 00:21:05,380
是一个所有时代最伟大的知识创新，

296
00:21:05,380 --> 00:21:09,540
发展成为一种国际通用语。

297
00:21:27,980 --> 00:21:29,940
但是，还少了一个数， 

298
00:21:29,940 --> 00:21:33,780
是印度人介绍给世人的。

299
00:21:40,300 --> 00:21:44,740
这个数最早的记载是在9世纪。 

300
00:21:44,740 --> 00:21:48,420
也许几百年前已经在使用了。

301
00:21:50,060 --> 00:21:53,900
这个新数符号出现在印度中部

302
00:21:53,900 --> 00:21:57,700
瓜略尔（Gwalior）小寺庙的碑文上。

303
00:22:01,820 --> 00:22:05,740
这里就是数学世界的圣地，

304
00:22:05,740 --> 00:22:09,180
我所寻找的就是这墙上的题字。

305
00:22:10,140 --> 00:22:12,940
这里有一些数字..

306
00:22:12,940 --> 00:22:15,220
这里是新的数，

307
00:22:15,220 --> 00:22:17,220
0。

308
00:22:21,940 --> 00:22:25,460
令人吃惊的是在印度人发明它之前， 

309
00:22:25,460 --> 00:22:27,980
没有0这个数。

310
00:22:27,980 --> 00:22:31,620
在古希腊，根本不存在，

311
00:22:31,620 --> 00:22:35,860
埃及，美索不达米亚，也没有，正如我们看到，在中国， 

312
00:22:35,860 --> 00:22:40,060
零已被使用，但作为一个占位符，

313
00:22:40,060 --> 00:22:42,380
在数字等于零的位置留下空位来表示。

314
00:22:45,660 --> 00:22:48,740
印度人把零从占位符变成了一个数，

315
00:22:48,740 --> 00:22:51,340
使零本身变得有意义，

316
00:22:51,340 --> 00:22:54,620
可以用于计算，学术研究。 

317
00:22:54,620 --> 00:22:58,820
这个聪明的概念性的一跃导致了数学的彻底变革。
 
318
00:23:02,740 --> 00:23:07,100
现在，只需用10个数字，从0到9， 

319
00:23:07,100 --> 00:23:10,100
就能非常有效的

320
00:23:10,100 --> 00:23:12,380
写出天文数字，

321
00:23:15,380 --> 00:23:18,700
但印度人为何能做出了这么富于想像力的飞跃？ 

322
00:23:18,700 --> 00:23:20,620
我们永远无法知道，

323
00:23:20,620 --> 00:23:24,860
可能印度人使用0这个符号

324
00:23:24,860 --> 00:23:28,060
来自他们在沙里用石头进行计算。

325
00:23:28,060 --> 00:23:31,380
当石头在计算中被移走，

326
00:23:31,380 --> 00:23:34,140
一个小圆孔是留在它的位置上，

327
00:23:34,140 --> 00:23:37,500
表示变成没东西了。

328
00:23:40,140 --> 00:23:44,460
但是，零的发明可能还有一个文化原因。

331
00:23:53,380 --> 00:23:57,860
因为在古代的印度人，“无”和“永恒”

332
00:23:57,860 --> 00:24:00,780
是他们宗教信仰的核心。

334
00:24:10,220 --> 00:24:14,220
在印度宗教中，天下万物生于'无'，

335
00:24:14,220 --> 00:24:17,340
'无'是人类能够达到的最高境界。

336
00:24:17,340 --> 00:24:19,180
因此，这也许并不奇怪

337
00:24:19,180 --> 00:24:23,020
狂热的宗教文化--“空”

338
00:24:23,020 --> 00:24:26,220
是产生概念“0”的思想基础。

339
00:24:26,220 --> 00:24:30,420
印度人甚至用哲学概念

340
00:24:30,420 --> 00:24:34,260
“空”(shunya)表示新的数学术语“0”。

341
00:24:47,620 --> 00:24:53,020
在公元7世纪，伟大的印度数学家婆罗摩（Brahmagupta）

342
00:24:53,020 --> 00:24:56,020
记述了零的一些基本性质。

343
00:25:01,820 --> 00:25:04,660
今天世界各地的学校里仍在

344
00:25:04,660 --> 00:25:08,620
教授婆罗摩关于零的计算规则。

345
00:25:09,580 --> 00:25:12,580
1+0=1，

346
00:25:13,620 --> 00:25:16,980
1-0=1，

347
00:25:16,980 --> 00:25:20,260
1X0=0.

348
00:25:24,460 --> 00:25:29,020
但当1/0时，婆罗摩栽大了。

349
00:25:29,020 --> 00:25:32,220
毕竟，什么数乘以0等于1？

350
00:25:32,220 --> 00:25:36,100
它需要一种新的数学概念，无穷，

351
00:25:36,100 --> 00:25:38,340
去搞清楚除以0的意义，

352
00:25:38,340 --> 00:25:42,260
突破是由一位12世纪的印度数学家

353
00:25:42,260 --> 00:25:45,380
婆什迦罗II（Bhaskara II），

354
00:25:45,380 --> 00:25:51,540
如果把水果劈成2等份，得到2片，

355
00:25:51,540 --> 00:25:54,420
所有1除以1/2等于2.

356
00:25:54,420 --> 00:25:57,820
如果把水果劈成3等份，得到3片，

357
00:25:57,820 --> 00:26:01,260
所以，当我划分成越来越小的分数，

358
00:26:01,260 --> 00:26:04,980
最终，我得到越来越多片，

359
00:26:04,980 --> 00:26:06,940
当我以零尺度分，

360
00:26:06,940 --> 00:26:10,740
将得到无限多片。

361
00:26:10,740 --> 00:26:14,900
因此，对于婆什迦罗，1/0=∞.

362
00:26:23,220 --> 00:26:27,020
但是，印度人对零的计算更深入。

363
00:26:28,180 --> 00:26:32,500
例如，3-3=0，

364
00:26:32,500 --> 00:26:35,940
那么3-4=？

365
00:26:35,940 --> 00:26:38,180
似乎什么也没有，

366
00:26:38,180 --> 00:26:40,980
但印度人认识到，

367
00:26:40,980 --> 00:26:44,060
这是一种新的"没有"---负数。

368
00:26:44,060 --> 00:26:47,780
印度人称他们为“债务”，因为他们如下面解方程，

369
00:26:47,780 --> 00:26:51,380
“如果我有3堆材料，但取走4堆，

370
00:26:51,380 --> 00:26:53,540
“还剩下多少？”

371
00:26:57,220 --> 00:26:59,180
这可能看上去很奇怪，不切实际，

372
00:26:59,180 --> 00:27:01,740
但却是印度数学之美。

373
00:27:01,740 --> 00:27:05,020
他们能想出负数和零

374
00:27:05,020 --> 00:27:08,420
是因为用抽象实体来思考数。

375
00:27:08,420 --> 00:27:11,700
不仅用于计算和测量布匹。

376
00:27:11,700 --> 00:27:15,340
他们有自己的生活方式，自由漂浮于现实世界。

377
00:27:15,340 --> 00:27:19,340
这导致了数学思想爆炸。

378
00:27:31,220 --> 00:27:34,900
印度人抽象的数学方法，很快被用于

379
00:27:34,900 --> 00:27:38,780
解二次方程式--

380
00:27:38,780 --> 00:27:42,340
方程未知项的最高次数是2。

381
00:27:43,860 --> 00:27:47,860
婆罗摩对负数的理解允许

382
00:27:47,860 --> 00:27:51,060
二次方程总有两个解，

383
00:27:51,060 --> 00:27:52,940
其中之一可以是负的。

384
00:27:55,460 --> 00:27:57,380
婆罗摩更进一步，

385
00:27:57,380 --> 00:28:00,340
解决了两个未知数的二次方程，

386
00:28:00,340 --> 00:28:04,380
在西方，直到1657年才考虑这个问题，

387
00:28:04,380 --> 00:28:06,260
当时法国数学家费马（Fermat）

388
00:28:06,260 --> 00:28:08,940
用同样的问题挑战他的同事们。

389
00:28:08,940 --> 00:28:12,100
他并不知道，

390
00:28:12,100 --> 00:28:15,020
早在千年前

391
00:28:20,340 --> 00:28:24,980
婆罗摩就用抽象方法解决了。

392
00:28:24,980 --> 00:28:28,140
但令人惊讶，

393
00:28:28,140 --> 00:28:31,460
他还发展了新的数学语言表示抽象。

394
00:28:32,780 --> 00:28:36,980
婆罗摩尝试

395
00:28:36,980 --> 00:28:40,460
使用不同的颜色的名称缩写写方程，

396
00:28:40,460 --> 00:28:43,020
表示方程中的未知数。

397
00:28:44,980 --> 00:28:47,740
一种新的数学语言活跃起来 ，

398
00:28:47,740 --> 00:28:50,180
最终发展成

399
00:28:50,180 --> 00:28:53,220
今天的数学期刊中遍地的X和Y。

400
00:29:06,780 --> 00:29:11,180
不光新的计数法被发展了，

401
00:29:13,660 --> 00:29:16,180
印度数学家对三角学

402
00:29:16,180 --> 00:29:19,900
也作出了贡献。

403
00:29:22,740 --> 00:29:26,980
三角学的作用像一本字典，

404
00:29:26,980 --> 00:29:30,220
把几何翻译成数字。

405
00:29:30,220 --> 00:29:33,420
虽然三角学起源于古希腊，

406
00:29:33,420 --> 00:29:36,060
却在印度数学家手中

407
00:29:36,060 --> 00:29:38,100
真正蓬勃发展。

408
00:29:38,100 --> 00:29:42,620
其核心内容是对直角三角形研究。

409
00:29:44,300 --> 00:29:48,340
在三角学里，你可以用角度

410
00:29:48,340 --> 00:29:52,580
来求出了解对边与斜边的比例。

411
00:29:52,580 --> 00:29:55,340
这个函数叫正弦函数(sin)

412
00:29:55,340 --> 00:29:58,380
当你输入的角度，得到比例。

413
00:29:58,380 --> 00:30:02,060
因此，例如在这个三角形中，夹角为30度，

414
00:30:02,060 --> 00:30:06,060
这样,sin30°=1/2，

415
00:30:06,060 --> 00:30:10,660
说明对边是斜边的一半。

416
00:30:13,140 --> 00:30:17,140
正弦函数可以用于计算距离，

417
00:30:17,140 --> 00:30:21,420
当你无法准确的测量。

418
00:30:21,420 --> 00:30:25,500
即使今天，它还被用于建筑学和工程学。

419
00:30:25,500 --> 00:30:28,340
印度人用它来勘察周围的土地，

420
00:30:28,340 --> 00:30:33,180
航海，最终绘制地图。

421
00:30:35,140 --> 00:30:38,100
这是观测工作的核心，

422
00:30:38,100 --> 00:30:39,940
德里(印度城市Delhi)这个地方，

423
00:30:39,940 --> 00:30:42,820
天文学家们研究恒星。

424
00:30:42,820 --> 00:30:45,340
印度天文学家可以利用三角学

425
00:30:45,340 --> 00:30:48,460
推算出地球与月球的距离

426
00:30:48,460 --> 00:30:49,900
地球和太阳，等等

427
00:30:49,900 --> 00:30:53,700
只能在半满月时进行计算，

428
00:30:53,700 --> 00:30:56,900
因为这时月亮正对太阳，

429
00:30:56,900 --> 00:31:01,420
这样太阳，月亮和地球组成一个直角三角形。

430
00:31:02,980 --> 00:31:04,820
这样，印度人可以测量

431
00:31:04,820 --> 00:31:08,140
太阳与天文台之间的角度

432
00:31:08,140 --> 00:31:09,980
是七分之一度。

433
00:31:11,220 --> 00:31:17,820
sin1/7°=1:400。

435
00:31:17,820 --> 00:31:23,580
这意味着地球到到太阳的距离是到月亮的400倍。

436
00:31:23,580 --> 00:31:25,460
因此，使用三角学，

437
00:31:25,460 --> 00:31:28,740
印度数学家不必离开地球表面

438
00:31:28,740 --> 00:31:31,780
就可以探索太阳系。

439
00:31:39,340 --> 00:31:42,940
古希腊人最早研究正弦函数，

440
00:31:42,940 --> 00:31:47,300
并列出了某些特殊角度的精确值，

441
00:31:47,300 --> 00:31:50,940
但他们无法算出任意角的正弦。

442
00:31:50,940 --> 00:31:55,460
印度人却走得更远，定下艰巨的任务，

443
00:31:55,460 --> 00:31:57,540
去寻找一种方法

444
00:31:57,540 --> 00:32:01,540
可以计算任何给定角的正弦函数。

445
00:32:18,260 --> 00:32:21,780
这个问题的突破性进展发生在

446
00:32:21,780 --> 00:32:24,820
印度南部的"喀拉拉邦学校"（Kerala）。

447
00:32:24,820 --> 00:32:27,900
15世纪，这个地方

448
00:32:27,900 --> 00:32:33,500
出了很多大数学家。

450
00:32:34,940 --> 00:32:38,900
他们的领袖叫摩伽婆（Madhava），

451
00:32:38,900 --> 00:32:42,660
曾给出了一些特殊的数学发现。

452
00:32:45,460 --> 00:32:49,420
摩伽婆成功的关键是引进了无穷的概念。

453
00:32:49,420 --> 00:32:54,860
他发现，可以把无穷多东西戏剧性的加起来，

455
00:32:54,860 --> 00:32:58,180
以前，一直害怕对无穷进行求和，

456
00:32:58,180 --> 00:33:00,660
但摩伽婆很高兴处理无穷。

457
00:33:00,660 --> 00:33:03,220
例如，下面就是

458
00:33:03,220 --> 00:33:05,660
对无限多的分数求和。

459
00:33:07,180 --> 00:33:11,540
坐船从0到1，

460
00:33:11,540 --> 00:33:15,780
但我可以把旅程分割成无限多的分数。

461
00:33:15,780 --> 00:33:18,540
我先到1/2，

462
00:33:18,540 --> 00:33:22,260
然后再前进1/4,

463
00:33:22,260 --> 00:33:25,260
1/8,1/16,等等

464
00:33:25,260 --> 00:33:29,660
前进的分数越小，越接近终点，

465
00:33:29,660 --> 00:33:34,060
但只有把无穷多的分数相加，才能到达终点。

466
00:33:36,380 --> 00:33:38,500
物理上和哲学上

467
00:33:38,500 --> 00:33:41,980
无穷多东西相加，似乎是一个挑战，

468
00:33:41,980 --> 00:33:46,020
但数学却把这种不可能解释清楚了。

469
00:33:46,020 --> 00:33:47,580
通过产生一种语言

470
00:33:47,580 --> 00:33:49,940
来表达和处理无穷，

471
00:33:49,940 --> 00:33:52,820
能够证明

472
00:33:52,820 --> 00:33:54,780
经过无限多步后，将到达终点。

473
00:33:57,980 --> 00:34:02,220
这种无限求和被称为无穷级数，

474
00:34:02,220 --> 00:34:04,860
摩伽婆对建立级数和三角学的关系

475
00:34:04,860 --> 00:34:07,900
做了大量的研究。

476
00:34:08,900 --> 00:34:12,540
首先，他意识到，他能用相同的原理

477
00:34:12,540 --> 00:34:15,180
对无限多的分数相加

478
00:34:15,180 --> 00:34:19,700
得到一个重要的数 π（pi）.

479
00:34:21,220 --> 00:34:26,020
π是圆的周长与直径之比，

480
00:34:26,020 --> 00:34:30,220
这个数字，出现在数学的很多地方，

481
00:34:30,220 --> 00:34:32,700
但对工程师特别有用，

482
00:34:32,700 --> 00:34:36,940
因为任何曲线测量都涉及到π，

483
00:34:38,540 --> 00:34:43,140
因此，几个世纪以来，数学家都在寻找π的精确值。

484
00:34:48,660 --> 00:34:52,660
6世纪，印度数学家阿耶波多（Aryabhata）

485
00:34:52,660 --> 00:34:57,500
给一个非常精确的近似值 即3.1416。

486
00:34:57,500 --> 00:34:59,180
他接着以此

487
00:34:59,180 --> 00:35:02,340
计算地球的周长，

488
00:35:02,340 --> 00:35:05,820
得到结果是24，835英里，

489
00:35:05,820 --> 00:35:09,820
令人惊讶的是，与实际值只有70英里误差。

490
00:35:09,820 --> 00:35:12,700
15世纪的喀拉拉邦，

491
00:35:12,700 --> 00:35:15,580
摩伽婆意识到他可以利用无穷

492
00:35:15,580 --> 00:35:18,020
给出π的一个准确公式。

493
00:35:21,300 --> 00:35:25,140
通过逐次加减不同的分数，

494
00:35:25,140 --> 00:35:28,660
可以得出π的精确公式。

495
00:35:30,020 --> 00:35:34,500
首先，他在数轴上移动了四步，

496
00:35:34,500 --> 00:35:36,860
超过了π，

497
00:35:38,380 --> 00:35:41,420
接着退回三分之四步

498
00:35:41,420 --> 00:35:44,740
或一又三分之一步，

499
00:35:44,740 --> 00:35:46,900
现在，他又离π太远了，

500
00:35:48,140 --> 00:35:51,860
所以，他又向前五分之四步。

501
00:35:51,860 --> 00:35:56,660
每一次，他交替下一个奇数除4。

502
00:36:03,380 --> 00:36:06,500
他在数轴上呈之字形移动，

503
00:36:06,500 --> 00:36:08,980
越来越接近π。
(即Leibniz级数 
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + … 不过收敛很慢）

504
00:36:08,980 --> 00:36:12,340
他发现，如果穿过所有的奇数，

505
00:36:12,340 --> 00:36:15,860
将得到π的确切值。

506
00:36:20,260 --> 00:36:22,980
这个求π的公式在大学课程里教过，

507
00:36:22,980 --> 00:36:26,820
是由17世纪德国数学家莱布尼茨发现的，

508
00:36:26,820 --> 00:36:30,220
但令人惊讶的，

509
00:36:30,220 --> 00:36:32,100
实际上两个世纪前的摩伽婆是早就发现了。

510
00:36:32,100 --> 00:36:34,700
他接着使用同样的方法

511
00:36:34,700 --> 00:36:38,980
得到了正弦的无穷级数形式。

513
00:36:38,980 --> 00:36:42,420
精彩的是你可以使用这些公式

514
00:36:42,420 --> 00:36:46,380
计算任意角的正弦值到任意精度。

515
00:36:57,100 --> 00:37:00,860
看来不可思议的是，

516
00:37:00,860 --> 00:37:03,740
印度人比西方数学家早发现几个世纪。

517
00:37:06,500 --> 00:37:11,100
它也说明了西方对非西方的态度，

518
00:37:11,100 --> 00:37:15,060
我们总是把他们的发现宣称是自己的。

519
00:37:15,060 --> 00:37:19,100
非常清楚，

520
00:37:19,100 --> 00:37:22,660
西方给予非西方数学重大突破应有的荣誉时，
一直非常迟钝。

521
00:37:22,660 --> 00:37:25,860
摩伽婆不是唯一受这种待遇的数学家。

522
00:37:25,860 --> 00:37:28,940
在十八，十九世纪，

523
00:37:28,940 --> 00:37:30,820
由于西方接触东方越来越多，

524
00:37:30,820 --> 00:37:33,460
大量的摒弃和贬低

525
00:37:33,460 --> 00:37:35,540
殖民地的文化。

526
00:37:35,540 --> 00:37:40,580
当地人，被假设没有任何的知识产权价值。

528
00:37:40,580 --> 00:37:43,500
只有现在，21世纪初，

529
00:37:43,500 --> 00:37:45,380
历史正在改写。

530
00:37:45,380 --> 00:37:49,740
但是，东方数学对欧洲的重大影响，

531
00:37:49,740 --> 00:37:55,060
归功于一个中世纪强国的发展。

533
00:38:17,780 --> 00:38:21,300
公元7世纪，一个新的帝国

534
00:38:21,300 --> 00:38:22,660
开始蔓延整个中东地区。

535
00:38:22,660 --> 00:38:25,460
先知穆罕默德的教义

536
00:38:25,460 --> 00:38:28,900
鼓舞了强大的伊斯兰帝国

537
00:38:28,900 --> 00:38:31,260
很快延伸至该国东部的印度，

538
00:38:31,260 --> 00:38:35,500
位于现在的摩洛哥西方。

539
00:38:42,300 --> 00:38:46,820
在这个帝国的中心，有着充满活力的智育。

540
00:38:51,740 --> 00:38:56,500
大图书馆和学习中心成立于巴格达(伊拉克首都)。

541
00:38:56,500 --> 00:38:59,980
称为“智慧馆”，

542
00:38:59,980 --> 00:39:02,180
它在整个伊斯兰帝国教学中传播，

543
00:39:02,180 --> 00:39:05,420
到达像非斯(摩洛哥北部一城市)这样的学校，

544
00:39:05,420 --> 00:39:08,700
学习的课程包括天文，

545
00:39:08,700 --> 00:39:10,580
医学，化学，动物学

546
00:39:10,580 --> 00:39:12,260
和数学。

547
00:39:13,820 --> 00:39:18,500
穆斯林学者收集和翻译的许多古籍，

548
00:39:18,500 --> 00:39:20,940
为他们的后代有效保存下来。

549
00:39:20,940 --> 00:39:24,220
事实上，如果没有他们的介入，
我们可能永远也不会知道

550
00:39:24,220 --> 00:39:27,820
关于埃及，巴比伦，希腊和印度的古代文化。

551
00:39:27,820 --> 00:39:30,780
但在“智慧馆”的学者们不满足于

552
00:39:30,780 --> 00:39:33,700
只是翻译别人的数学著作。

553
00:39:33,700 --> 00:39:36,420
他们希望建立一个自己的数学，

554
00:39:36,420 --> 00:39:38,260
推动这一课题的进展。

555
00:39:42,420 --> 00:39:46,420
这种求知欲在最初几个世纪积极鼓励

556
00:39:46,420 --> 00:39:49,660
伊斯兰帝国。

557
00:39:51,780 --> 00:39:54,860
古兰经肯定了知识的重要性。

558
00:39:54,860 --> 00:39:58,980
学习完全是神的旨意。

559
00:40:01,700 --> 00:40:05,620
事实上，掌握数学技能在伊斯兰教是必要的。

560
00:40:05,620 --> 00:40:08,260
虔诚者需要计算祈祷时间和

561
00:40:08,260 --> 00:40:10,980
麦加(Mecca，伊斯兰教第一圣地)的朝向，

562
00:40:10,980 --> 00:40:13,980
由于描绘人像在伊斯兰是禁止的，

563
00:40:13,980 --> 00:40:15,860
这意味着他们不得不用更多的几何图案

564
00:40:15,860 --> 00:40:18,860
来装饰他们的建筑。

565
00:40:18,860 --> 00:40:22,420
穆斯林艺术家发现所有不同种类的对称，

566
00:40:22,420 --> 00:40:26,660
能描绘在一个二维的墙上。

567
00:40:34,380 --> 00:40:37,380
巴格达“智慧馆”的主要领导人叫

568
00:40:37,380 --> 00:40:40,740
穆罕默德花拉子米（Muhammad Al-Khwarizmi 波斯学者）。

569
00:40:43,860 --> 00:40:48,780
花拉子米是一位杰出的数学家

570
00:40:48,780 --> 00:40:53,020
对两个关键的数学概念传到西方作出了贡献。

571
00:40:53,020 --> 00:40:56,020
花拉子米意识到印度数系

572
00:40:56,020 --> 00:40:57,860
对数学和科学

573
00:40:57,860 --> 00:41:00,820
彻底变革扮演着重要的角色。

574
00:41:00,820 --> 00:41:03,380
他的工作解释了数字的作用，

575
00:41:03,380 --> 00:41:06,340
加快计算和有效地做事情，

576
00:41:06,340 --> 00:41:09,740
不象以前，

577
00:41:09,740 --> 00:41:13,580
数只是伊斯兰数学家中专用。

578
00:41:13,580 --> 00:41:16,340
事实上，这些数被称为印度-阿拉伯数字

579
00:41:16,340 --> 00:41:18,660
（俗称阿拉伯数字）

580
00:41:18,660 --> 00:41:21,700
这些数字1到9，加一个0，

581
00:41:21,700 --> 00:41:25,500
现在，世界各地都在使用。

582
00:41:30,020 --> 00:41:34,980
但是，花拉子米将要创造一个全新的数学语言。

583
00:41:36,620 --> 00:41:38,580
它被称为代数（algebra）

584
00:41:38,580 --> 00:41:43,100
代数”一词取自他一本著作的名称《代数学》
（书名的阿拉伯文是“Al-jabr W'al-muqabala”），

585
00:41:43,100 --> 00:41:46,460
直译《还原与对消的科学》．

586
00:41:51,300 --> 00:41:56,420
代数是数字运算的法则。

587
00:41:56,420 --> 00:41:58,820
这是解释

588
00:41:58,820 --> 00:42:01,980
数字行为模式背后的语言。

589
00:42:01,980 --> 00:42:05,900
有点像计算机运行的程序代码。

590
00:42:05,900 --> 00:42:09,580
该代码对代入程序的任何数都有效。

591
00:42:11,380 --> 00:42:15,020
例如，数学家可能会发现，

592
00:42:15,020 --> 00:42:17,300
一个数A的平方

593
00:42:17,300 --> 00:42:22,580
大于（A-1）×（A+1）

595
00:42:22,580 --> 00:42:25,780
例如：25=5×5

596
00:42:25,780 --> 00:42:29,700
大于4×6=24，

597
00:42:29,700 --> 00:42:33,500
36=6×6大于5×7=35，等等

598
00:42:33,500 --> 00:42:35,220
但你怎么知道

599
00:42:35,220 --> 00:42:38,420
对任意数是否都成立?

600
00:42:38,420 --> 00:42:41,380
为了解释这些计算模式，

601
00:42:41,380 --> 00:42:43,660
我们使用制革厂里的染色洞。

602
00:42:51,620 --> 00:42:56,860
如果方阵里有25个洞，5×5，

603
00:42:56,860 --> 00:43:01,100
把其中的一列5个移到底部，

604
00:43:01,100 --> 00:43:03,980
这样就得到4个6，还多1个。

605
00:43:05,500 --> 00:43:08,900
因此，不管方阵里有多少洞，

606
00:43:08,900 --> 00:43:12,660
可以用类似的方法把其中的一列移到底部，

607
00:43:12,660 --> 00:43:16,580
最后多出1个。

608
00:43:19,220 --> 00:43:21,300
代数是一个巨大的突破。

609
00:43:21,300 --> 00:43:23,020
这是一种新的语言，

610
00:43:23,020 --> 00:43:26,060
能够解释数字运算的方式。

611
00:43:26,060 --> 00:43:28,220
在此之前，印度与中国

612
00:43:28,220 --> 00:43:30,460
只考虑具体问题。

613
00:43:30,460 --> 00:43:33,940
但花拉子米从特殊到一般。

614
00:43:33,940 --> 00:43:37,540
他开发的系统方法，

615
00:43:37,540 --> 00:43:41,140
能够分析问题，无论你取什么数都有解。

616
00:43:41,140 --> 00:43:44,900
当今世界的数学还在使用这种语言。

617
00:43:46,420 --> 00:43:51,140
当运用代数到二次方程

618
00:43:51,140 --> 00:43:52,820
（未知项次数为2的整式方程），

619
00:43:52,820 --> 00:43:55,900
花拉子米取得了重大发现。

620
00:43:55,900 --> 00:43:58,700
古美索不达米亚设计了

621
00:43:58,700 --> 00:44:02,460
一种巧妙的方法来解决特定的二次方程，

622
00:44:02,460 --> 00:44:06,580
但花拉子米的抽象代数语言，

623
00:44:06,580 --> 00:44:10,340
却能解释为什么这种方法总是有效。

624
00:44:11,940 --> 00:44:14,540
这是一个伟大的理念飞跃，

625
00:44:14,540 --> 00:44:18,260
并最终导致

626
00:44:18,260 --> 00:44:22,500
解二次方程的一般方法。

627
00:44:30,820 --> 00:44:32,780
接下来的数学圣杯

628
00:44:32,780 --> 00:44:37,380
是找到一种解所有三次方程 

629
00:44:37,380 --> 00:44:40,980
的通用方法，

630
00:44:58,260 --> 00:45:00,980
11世纪，一个波斯数学家

631
00:45:00,980 --> 00:45:04,340
接受了三次方程问题的挑战。

632
00:45:08,780 --> 00:45:12,300
他的名字叫欧玛尔·海亚姆（Omar Khayyam）

633
00:45:12,300 --> 00:45:15,940
他走遍了中东许多地区，边旅行边计算，

634
00:45:17,860 --> 00:45:21,780
但他出名的另一个原因是

635
00:45:21,780 --> 00:45:24,420
他是一个著名诗人，

636
00:45:24,420 --> 00:45:28,380
伟大诗作《柔巴依集》（又译《鲁拜集》）的作者。

637
00:45:31,260 --> 00:45:35,460
似乎有些奇怪，一个诗人同时又是一个数学大师。

638
00:45:35,460 --> 00:45:38,900
毕竟，这种组合不太会想到。

639
00:45:38,900 --> 00:45:42,540
但是学科之间存在很大的相似性。

640
00:45:42,540 --> 00:45:45,900
诗歌，讲究结构和节奏韵律，

641
00:45:45,900 --> 00:45:49,860
与构建数学逻辑证明有强烈共鸣。

642
00:45:53,340 --> 00:45:55,660
海亚姆主要的数学贡献

643
00:45:55,660 --> 00:46:00,420
是找到通用的方法来解决所有三次方程，

644
00:46:00,420 --> 00:46:04,100
而不是特例，

645
00:46:04,100 --> 00:46:08,980
海亚姆进行了系统地分析，

646
00:46:08,980 --> 00:46:12,260
忠实于花拉子米代数的精髓。

647
00:46:14,100 --> 00:46:16,620
海亚姆的分析第一次揭示了

64
00:46:16,620 --> 00:46:19,820
三次方程共有几种不同类型。

649
00:46:19,820 --> 00:46:21,900
但他仍然受

650
00:46:21,900 --> 00:46:24,660
希腊几何传统的影响，

651
00:46:24,660 --> 00:46:27,420
他不能把代数同几何分开。

652
00:46:27,420 --> 00:46:30,780
事实上，他根本不会考虑更高次方程，

653
00:46:30,780 --> 00:46:34,180
因为当他们描述超过三维的事物，

654
00:46:34,180 --> 00:46:35,980
他认为这是不可能的。

655
00:46:35,980 --> 00:46:37,860
虽然几何在一定程度上

656
00:46:37,860 --> 00:46:40,460
允许他来分析三次方程，

657
00:46:40,460 --> 00:46:43,620
他仍旧不能给出一个纯代数的解决方案。

658
00:46:46,140 --> 00:46:51,740
这将是500年后，另一个数学家作出飞跃，

659
00:46:51,740 --> 00:46:55,060
并找到三次方程的通解。

660
00:46:56,580 --> 00:47:01,740
而飞跃最终发生在西方 - 意大利。

661
00:47:15,740 --> 00:47:19,220
在中国，印度和伊斯兰帝国

662
00:47:19,220 --> 00:47:20,860
蒸蒸日上的几个世纪，

663
00:47:20,860 --> 00:47:25,100
欧洲正在中世纪“黑暗时代”的阴影中。

664
00:47:26,620 --> 00:47:30,900
智力活动，包括数学研究，一直停滞不前。

665
00:47:36,100 --> 00:47:41,740
但是到了13世纪，事情开始发生改变。

666
00:47:41,740 --> 00:47:47,020
由意大利各城市兴起，以后扩展到西欧各国，

667
00:47:47,020 --> 00:47:51,460
知识从东方传播到西方。

668
00:47:51,460 --> 00:47:53,460
一个海关管理员的儿子，

669
00:47:53,460 --> 00:47:56,980
将成为中世纪欧洲第一个伟大的数学家，

670
00:47:56,980 --> 00:48:00,580
当他还是一个孩子时，
他与他的父亲在非洲北岸到处旅行，

671
00:48:00,580 --> 00:48:03,780
在这里，他了解了阿拉伯数学的发展，

672
00:48:03,780 --> 00:48:07,060
特别是印度阿拉伯数系的优越性。

673
00:48:07,060 --> 00:48:09,100
当他回到意大利后，

674
00:48:09,100 --> 00:48:10,980
写了一本书，

675
00:48:10,980 --> 00:48:13,580
将对西方数学发展产生巨大的影响力。

676
00:48:29,660 --> 00:48:32,140
这位比萨数学家叫莱昂纳多（Leonardo），

677
00:48:32,140 --> 00:48:34,780
以斐波那契为大家所知，

678
00:48:34,780 --> 00:48:37,420
在他的《算盘书》中，

679
00:48:37,420 --> 00:48:41,060
斐波那契提出了一个新的数系，

680
00:48:41,060 --> 00:48:44,420
显示了优越于

681
00:48:44,420 --> 00:48:46,420
整个欧洲使用的罗马数字。

682
00:48:46,420 --> 00:48:51,660
计算变得简单得多，

683
00:48:51,660 --> 00:48:55,420
对与数字打交道的人，

684
00:48:55,420 --> 00:48:58,940
从数学家到商人，几乎每个人。

685
00:48:58,940 --> 00:49:02,980
但这些新的数仍遭到普遍质疑。

686
00:49:02,980 --> 00:49:06,660
旧习难改，权威不信任他们。

687
00:49:06,660 --> 00:49:09,540
一些人认为，

688
00:49:09,540 --> 00:49:11,380
这使诈骗，篡改更方便。

689
00:49:11,380 --> 00:49:14,860
另一些则认为，普通老百姓都会计算

690
00:49:14,860 --> 00:49:18,140
夺走了那些知道如何使用旧数码的

691
00:49:18,140 --> 00:49:22,140
知识分子的权威性。

692
00:49:27,980 --> 00:49:31,540
1299年，罗伦萨甚至禁止使用他们，

693
00:49:31,540 --> 00:49:34,740
随着时间的推移，常识盛行，

694
00:49:34,740 --> 00:49:37,540
新数系在整个欧洲蔓延，

695
00:49:37,540 --> 00:49:41,300
旧的罗马数系慢慢消失。

696
00:49:41,300 --> 00:49:46,260
最后，印度阿拉伯数字，0到9，获得了胜利。

697
00:49:48,700 --> 00:49:52,060
今天，斐波那契

698
00:49:52,060 --> 00:49:55,540
以研究兔子交配问题，

699
00:49:55,540 --> 00:49:58,580
发现Fibonacci数列闻名,

700
00:49:58,580 --> 00:50:01,380
假设一个农民有一对兔子。

701
00:50:01,380 --> 00:50:03,860
兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，

702
00:50:03,860 --> 00:50:07,580
一对兔子每个月能生出一对小兔子来。

703
00:50:07,580 --> 00:50:09,420
如果所有兔都不死，

704
00:50:09,420 --> 00:50:12,900
试问：从开始起，每个月有多少对兔子？ 

705
00:50:15,140 --> 00:50:20,340
第一个月小兔子没有繁殖能力，

706
00:50:20,340 --> 00:50:24,540
所以还是一对；

707
00:50:24,540 --> 00:50:28,740
两个月之间，仍是一对；

708
00:50:28,740 --> 00:50:32,340
第三个月开始，

709
00:50:32,340 --> 00:50:36,940
生下一对小兔共有两对；

710
00:50:36,940 --> 00:50:39,060
第四个月开始，

711
00:50:39,060 --> 00:50:41,140
老兔子又生下一对，

712
00:50:41,140 --> 00:50:45,500
因为小兔子还没有繁殖能力，所以一共是三对；

713
00:50:47,180 --> 00:50:50,340
第四个月，第一对兔子又生下一对，

714
00:50:50,340 --> 00:50:53,820
第二对兔子第一次生下一对，

715
00:50:53,820 --> 00:50:58,540
因为第三对小兔子还没有繁殖能力，所以一共是五对；

716
00:50:58,540 --> 00:51:00,460
依次类推，

717
00:51:00,460 --> 00:51:02,580
斐波那契数列的每一项，

718
00:51:02,580 --> 00:51:09,740
都等于它前两项的和。

720
00:51:09,740 --> 00:51:13,460
这样的序列下去...

721
00:51:13,460 --> 00:51:17,620
1...1...2...3...

722
00:51:17,620 --> 00:51:21,460
5...8...13...

723
00:51:21,460 --> 00:51:26,260
21...34...55...等等.

724
00:51:26,260 --> 00:51:30,020
大自然偏爱Fibonacci数序，

725
00:51:30,020 --> 00:51:31,940
不只是兔子利用它们。

726
00:51:31,940 --> 00:51:36,220
花瓣数总是Fibonacci数。

727
00:51:36,220 --> 00:51:40,300
菠萝上的鳞片两组螺旋排列都是斐波纳契数列

728
00:51:40,300 --> 00:51:43,300
甚至蜗牛的螺纹壳也是。

729
00:51:43,300 --> 00:51:47,260
斐波那契数在大自然中是无处不在的。

730
00:51:51,900 --> 00:51:55,220
但欧洲数学下一个重大突破

731
00:51:55,220 --> 00:51:58,340
直到16世纪初才发生。

732
00:51:58,340 --> 00:51:59,940
涉及找出

733
00:51:59,940 --> 00:52:04,580
解决所有三次方程的一般方法，

734
00:52:04,580 --> 00:52:09,220
发生在意大利博洛尼亚。

735
00:52:10,940 --> 00:52:14,380
16世纪初，博洛尼亚大学

736
00:52:14,380 --> 00:52:17,900
是欧洲数学思想的中心。

737
00:52:21,220 --> 00:52:25,060
来自欧洲各地的学生聚集在这里，

738
00:52:25,060 --> 00:52:29,780
并制定了新的数学竞赛。

739
00:52:31,460 --> 00:52:34,820
大批观众聚在一起观看数学家挑战，

740
00:52:34,820 --> 00:52:40,020
象击剑智力比赛。

741
00:52:40,020 --> 00:52:43,260
但即使在这种提问的氛围里，

742
00:52:43,260 --> 00:52:46,740
有些问题相信也是无解的。

743
00:52:46,740 --> 00:52:51,460
人们普遍解认为所有三次方程

744
00:52:51,460 --> 00:52:55,100
一般方法是不存在的。

745
00:52:55,100 --> 00:52:58,900
但是，一位学者证明每个人都错了。

746
00:53:01,060 --> 00:53:03,380
他的名字是塔尔塔利亚(Tartaglia)，

747
00:53:03,380 --> 00:53:05,380
但他看起来

748
00:53:05,380 --> 00:53:08,340
不像个新数学的传奇建筑师。

749
00:53:08,340 --> 00:53:11,500
在塔尔塔利亚十二岁时，

750
00:53:11,500 --> 00:53:14,060
一法国士兵用刀砍了他的面部，

751
00:53:14,060 --> 00:53:16,660
这次受伤给他留下严重的面部伤疤，

752
00:53:16,660 --> 00:53:19,340
语言失灵，

753
00:53:19,340 --> 00:53:23,220
故有塔尔塔利亚的绰号（塔尔塔利亚原名丰塔纳）

754
00:53:23,220 --> 00:53:25,140
(意大利语 Tartaglia 是“口吃者”之意)。

755
00:53:30,380 --> 00:53:32,220
回避他的同学，

756
00:53:32,220 --> 00:53:37,660
塔尔塔利亚沉迷于数学，

757
00:53:37,660 --> 00:53:43,420
不久，他发现了一类三次方程的解法。

758
00:53:43,420 --> 00:53:45,380
但塔尔塔利亚很快发现

759
00:53:45,380 --> 00:53:48,980
他不是唯一一个相信可以破解三次方程的人。

760
00:53:48,980 --> 00:53:51,500
一位年轻的意大利人费罗（Fior）曾扬言，

761
00:53:51,500 --> 00:53:57,340
他也有解三次方程的杀手锏。

762
00:53:57,340 --> 00:54:02,780
故事中的两位主人公同时取得突破，

764
00:54:02,780 --> 00:54:06,700
二人被安排进行公开比赛.

765
00:54:06,700 --> 00:54:10,660
知识产权的比赛即将开始。

766
00:54:18,180 --> 00:54:20,220
麻烦的是，塔尔塔利亚

767
00:54:20,220 --> 00:54:23,140
只知道如何解决一类三次方程，

768
00:54:23,140 --> 00:54:25,140
费罗却准备

769
00:54:25,140 --> 00:54:27,460
向他挑战另一类三次方程。

770
00:54:27,460 --> 00:54:29,820
就在比赛中的头几天，

771
00:54:29,820 --> 00:54:32,860
塔尔塔利亚苦思冥想后终于找到了这类三次方程的解法，

772
00:54:32,860 --> 00:54:36,220
而对方对他的题目却一题都做不出来，

773
00:54:36,220 --> 00:54:39,580
于是在比赛中，
他只用了两个小时的时间就解出了所有题目，

774
00:54:42,180 --> 00:54:43,860
塔尔塔利亚更加热心于

775
00:54:43,860 --> 00:54:48,460
研究一般三次方程的解法。

776
00:54:48,460 --> 00:54:51,380
消息传出不久，米兰数学家

777
00:54:51,380 --> 00:54:55,140
卡尔达诺(Cardano)

778
00:54:55,140 --> 00:54:59,700
极力向塔尔塔利亚求教三次方程的解法，

779
00:54:59,700 --> 00:55:01,540
条件是

780
00:55:01,540 --> 00:55:05,340
卡尔达诺立下永不泄密的誓言。

781
00:55:08,100 --> 00:55:09,940
但卡尔达诺还是禁不住与

782
00:55:09,940 --> 00:55:14,340
聪明学生费拉里（Ferrari）研究塔尔塔利亚的解法。

783
00:55:14,340 --> 00:55:17,220
当费拉里掌握了塔尔塔利亚工作的精髓后，

784
00:55:17,220 --> 00:55:19,460
他发现他能解更复杂的

785
00:55:19,460 --> 00:55:23,060
四次方程，一个惊人的成果。

786
00:55:23,060 --> 00:55:26,260
卡尔达诺没有否定他的学生而是奖励他，

787
00:55:26,260 --> 00:55:29,620
他打破了保密誓言，

788
00:55:29,620 --> 00:55:33,060
将三次和四次方程解法公诸于众(《大术》一书)，

789
00:55:35,460 --> 00:55:39,420
可怜的塔塔利亚从此一蹶不振，死于贫穷。

790
00:55:39,420 --> 00:55:42,940
因而数学上三次方程的解法至今

791
00:55:42,940 --> 00:55:45,580
仍被称为“卡尔达诺公式”，

792
00:55:54,420 --> 00:55:57,860
塔塔利亚之名反而湮没无闻了。

793
00:55:57,860 --> 00:56:01,540
但他设图解决令

794
00:56:01,540 --> 00:56:06,060
中国，印度和阿拉伯伟大的数学家都头疼的问题。

795
00:56:08,260 --> 00:56:11,780
这是现代欧洲第一次

796
00:56:11,780 --> 00:56:13,780
发生的伟大数学突破。

797
00:56:16,780 --> 00:56:21,220
欧洲人手中已经有了自己新的代数语言，

798
00:56:21,220 --> 00:56:24,460
印度阿拉伯数字的强大技能，

799
00:56:24,460 --> 00:56:27,460
及精通无限的开始。

800
00:56:27,460 --> 00:56:29,260
西方世界用东方语言书写

801
00:56:29,260 --> 00:56:33,380
数学故事的时代开始了。

803
00:56:33,380 --> 00:56:36,260
数学变革即将开始。